Considere a equação de Bessel:
(a) Classifique o ponto
e encontre a primeira solução usando o método de Frobenius.
(b) Encontre a segunda solução no caso
.
(b) Encontre a segunda solução no caso
Passo 1
O enunciado dá a equação de Bessel
e pede duas coisas:
- (a) classificar o ponto
e encontrar a primeira solução usando o método de Frobenius; - (b) encontrar a segunda solução quando
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação linear de segunda ordem acima (coeficientes racionais em
). - O ponto onde devemos analisar a singularidade:
. - O parâmetro
é uma constante; na parte (b) vale .
Passo 2
Classificar o ponto
.
Primeiro colocamos a equação na forma padrão
. Dividindo por
obtemos
Assim
Definição (útil aqui):
é um ponto regular singular se
e
são analíticos em
. Calculamos:
Conclusão:
é um ponto regular singular.
Passo 3
Aplicar o método de Frobenius para obter a equação indicial e a recorrência.
Procura-se solução na forma de Frobenius
Derivadas:
Substituindo em
e agrupando as potências
obtemos
Deslocando índice no segundo somatório (
) e igualando coeficientes de
resulta a relação
onde por convenção
.
A equação indicial vem do termo
:
Logo as raízes da indicial são
Passo 4
Construir a primeira solução escolhendo
e resolver a recorrência.
A recorrência geral é
Tomando
temos, para índices pares (os ímpares ficam separados), para
:
Simplifique o denominador:
Logo
Iterando essa relação a partir de
obtém-se
(Isto vem de escrever
.)
Escolhendo a normalização conveniente
(registro: escolha padrão que limpa constantes) obtemos a forma padrão da solução de primeira espécie (função de Bessel de primeira espécie):
Explicando: aqui
é a solução analítica em
com comportamento principal
. A função
é a função gama, generalização do fatorial com
para inteiro
.
Portanto a primeira solução obtida por Frobenius (para a raiz
) é
Passo 5
Observação sobre a segunda solução em geral (caso
não inteiro) e o fenômeno quando
é inteiro.
- Se
não for inteiro, as duas raízes e não diferem por inteiro, e a segunda solução independente é obtida tomando e, de forma análoga, tem a série
que é independente de
quando
.
- Se
é inteiro (caso importante), então é inteiro e a tentativa direta com costuma falhar: a recorrência gera um denominador nulo em algum passo e isto indica que a segunda solução independente contém um termo logarítmico do tipo mais uma série. Esse segundo solução padrão é a função de Bessel de segunda espécie (também chamada função de Neumann), que é singular em .
Passo 6
Construir a segunda solução para o caso
.
Aqui
é inteiro, logo as raízes da indicial são
e
e diferem por um inteiro. Tentar a solução com
leva a uma obstrução (um denominador zero na recorrência) — sinal clássico de que a segunda solução contém um termo logarítmico. Pelo método geral, a segunda solução independente pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
podem ser determinados resolvendo as condições encontradas ao inserir esta forma na equação; o termo
aparece devido à coincidência das raízes da indicial modulo inteiro.
A função padrão e conhecida que fornece essa segunda solução é a função de Bessel de segunda espécie
. Uma representação útil (derivada pelo procedimento de limite
da combinação linear de
e
) é
Uma forma explícita em série (que mostra o termo logarítmico) é
onde
é a função digama (derivada logarítmica da função gama). Esta série mostra explicitamente o termo
e uma série analítica em potências pares; é a forma canônica do segundo solução singular em
.
Se preferir uma descrição mais direta e prática: a segunda solução independente para
é
a função de Bessel de segunda espécie de ordem
, que tem comportamento singular em
(principal termo assintótico
quando
) e que pode ser expressa pela série acima envolvendo
e a função digama.
Resposta
(a)
é um ponto regular singular. A primeira solução (obtida por Frobenius, raiz
) é
(b) Para
a segunda solução independente contém um termo logarítmico (as raízes da indicial diferem por inteiro) e corresponde à função de Bessel de segunda espécie: