Considere a equação de Bessel:
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-\nu^{2}\right) y=0 .
(a) Classifique o ponto x_{0}=0 e encontre a primeira solução usando o método de Frobenius.
(b) Encontre a segunda solução no caso \nu=2.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bessel
x^{2}y''+x y'+\big(x^{2}-\nu^{2}\big)y=0
e pede duas coisas:
  • (a) classificar o ponto x_{0}=0 e encontrar a primeira solução usando o método de Frobenius;
  • (b) encontrar a segunda solução quando \nu=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação linear de segunda ordem acima (coeficientes racionais em x).
  • O ponto onde devemos analisar a singularidade: x_{0}=0.
  • O parâmetro \nu é uma constante; na parte (b) \nu vale 2.

Passo 2

Classificar o ponto x_{0}=0.
Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0. Dividindo por x^{2} obtemos
y''+\frac{1}{x}y'+\left(1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}}\right)y=0.
Assim
p(x)=\frac{1}{x},\qquad q(x)=1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}}.
Definição (útil aqui): x_{0}=0 é um ponto regular singular se (x-0)p(x)=xp(x) e (x-0)^{2}q(x)=x^{2}q(x) são analíticos em x=0. Calculamos:
x\,p(x)=1\quad\text{(analítico em 0)},\qquad x^{2}q(x)=x^{2}-\nu^{2}\quad\text{(analítico em 0)}.íí
Conclusão: x_{0}=0 é um ponto regular singular.

Passo 3

Aplicar o método de Frobenius para obter a equação indicial e a recorrência.
Procura-se solução na forma de Frobenius
y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m+r},\qquad a_{0}\neq0.
Derivadas:
y'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(m+r)a_{m}x^{m+r-1},\qquad y''(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(m+r)(m+r-1)a_{m}x^{m+r-2}.
Substituindo em x^{2}y''+x y' +(x^{2}-\nu^{2})y=0 e agrupando as potências x^{m+r} obtemos
\sum_{m=0}^{\infty}\big[(m+r)^{2}-\nu^{2}\big]a_{m}x^{m+r}+\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m+r+2}=0.
Deslocando índice no segundo somatório ( m\mapsto m-2) e igualando coeficientes de x^{m+r} resulta a relação
\big[(m+r)^{2}-\nu^{2}\big]a_{m}+a_{m-2}=0,\qquad m\ge0,
onde por convenção a_{-1}=a_{-2}=0.
A equação indicial vem do termo m=0:
(r^{2}-\nu^{2})a_{0}=0\quad\Rightarrow\quad r^{2}-\nu^{2}=0.
Logo as raízes da indicial são
r_{1}=\nu,\qquad r_{2}=-\nu.

Passo 4

Construir a primeira solução escolhendo r=\nu e resolver a recorrência.
A recorrência geral é
a_{m}=-\frac{a_{m-2}}{(m+r)^{2}-\nu^{2}}.
Tomando r=\nu temos, para índices pares (os ímpares ficam separados), para m=2k:
a_{2k}=-\frac{a_{2k-2}}{(2k+\nu)^{2}-\nu^{2}}.
Simplifique o denominador:
(2k+\nu)^{2}-\nu^{2}=(2k)(2k+2\nu)=4k(k+\nu).
Logo
a_{2k}=-\frac{a_{2k-2}}{4k(k+\nu)}.
Iterando essa relação a partir de a_{0} obtém-se
a_{2k}=(-1)^{k}a_{0}\frac{\Gamma(\nu+1)}{4^{k}\,k!\,\Gamma(k+\nu+1)}.
(Isto vem de escrever \prod_{j=1}^{k}4j(j+\nu)=4^{k}k!\,\dfrac{\Gamma(k+\nu+1)}{\Gamma(\nu+1)}.)
Escolhendo a normalização conveniente a_{0}=\dfrac{1}{2^{\nu}\Gamma(\nu+1)} (registro: escolha padrão que limpa constantes) obtemos a forma padrão da solução de primeira espécie (função de Bessel de primeira espécie):
J_{\nu}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}.
Explicando: aqui J_{\nu}(x) é a solução analítica em x=0 com comportamento principal x^{\nu}. A função \Gamma é a função gama, generalização do fatorial com \Gamma(n+1)=n! para inteiro n.
Portanto a primeira solução obtida por Frobenius (para a raiz r=\nu) é
\boxed{y_{1}(x)=J_{\nu}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}.}

Passo 5

Observação sobre a segunda solução em geral (caso \nu não inteiro) e o fenômeno quando \nu é inteiro.
  • Se \nu não for inteiro, as duas raízes r=\nu e r=-\nu não diferem por inteiro, e a segunda solução independente é obtida tomando r=-\nu e, de forma análoga, tem a série
J_{-\nu}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(k-\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k-\nu},
que é independente de J_{\nu} quando \nu\notin\mathbb{Z}.
  • Se \nu é inteiro (caso importante), então r_{1}-r_{2}=2\nu é inteiro e a tentativa direta com r=-\nu costuma falhar: a recorrência gera um denominador nulo em algum passo e isto indica que a segunda solução independente contém um termo logarítmico do tipo J_{\nu}(x)\ln x mais uma série. Esse segundo solução padrão é a função de Bessel de segunda espécie Y_{\nu}(x) (também chamada função de Neumann), que é singular em x=0.

Passo 6

Construir a segunda solução para o caso \nu=2.
Aqui \nu=2 é inteiro, logo as raízes da indicial são r_{1}=2 e r_{2}=-2 e diferem por um inteiro. Tentar a solução com r=-2 leva a uma obstrução (um denominador zero na recorrência) — sinal clássico de que a segunda solução contém um termo logarítmico. Pelo método geral, a segunda solução independente pode ser escrita na forma
y_{2}(x)=C_{1}J_{2}(x)\ln x + x^{-2}\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{2k},
onde os coeficientes b_{k} podem ser determinados resolvendo as condições encontradas ao inserir esta forma na equação; o termo J_{2}(x)\ln x aparece devido à coincidência das raízes da indicial modulo inteiro.
A função padrão e conhecida que fornece essa segunda solução é a função de Bessel de segunda espécie Y_{2}(x). Uma representação útil (derivada pelo procedimento de limite \nu\to 2 da combinação linear de J_{\nu} e J_{-\nu}) é
Y_{2}(x)=\lim_{\nu\to 2}\frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}.
Uma forma explícita em série (que mostra o termo logarítmico) é
Y_{2}(x)=\frac{2}{\pi}\Bigg(J_{2}(x)\ln\frac{x}{2}-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{m!(m+2)!}\big[\psi(m+1)+\psi(m+3)\big]\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+2}\Bigg),
onde \psi(z)=\dfrac{d}{dz}\ln\Gamma(z) é a função digama (derivada logarítmica da função gama). Esta série mostra explicitamente o termo J_{2}(x)\ln(x/2) e uma série analítica em potências pares; é a forma canônica do segundo solução singular em x=0.
Se preferir uma descrição mais direta e prática: a segunda solução independente para \nu=2 é
\boxed{y_{2}(x)=Y_{2}(x)},
a função de Bessel de segunda espécie de ordem 2, que tem comportamento singular em x=0 (principal termo assintótico Y_{2}(x)\sim -\dfrac{4}{\pi x^{2}} quando x\to0) e que pode ser expressa pela série acima envolvendo \ln(x/2) e a função digama.

Resposta

(a) x_{0}=0 é um ponto regular singular. A primeira solução (obtida por Frobenius, raiz r=\nu) é
y_{1}(x)=J_{\nu}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}.
(b) Para \nu=2 a segunda solução independente contém um termo logarítmico (as raízes da indicial diferem por inteiro) e corresponde à função de Bessel de segunda espécie:
y_{2}(x)=Y_{2}(x)=\frac{2}{\pi}\Bigg(J_{2}(x)\ln\frac{x}{2}-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{m!(m+2)!}\big[\psi(m+1)+\psi(m+3)\big]\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+2}\Bigg).

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