Uma circunferência possui um diâmetro com extremidades nos pontos P(3,1) e Q(-1,-1). Essa circunferência é seccionada pela bissetriz dos quadrantes ímpares em dois pontos.
A soma das abscissas dos pontos de intersecção da circunferência com a bissetriz dos quadrantes ímpares é igual a

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é o seguinte: temos uma circunferência cujo diâmetro vai de
P(3,1) a Q(−1,−1) e queremos achar onde essa circunferência cruza a bissetriz dos quadrantes ímpares (que é a reta y=x).
Conteúdo: geometria analítica – vamos usar
  • fórmula do ponto médio pra achar o centro,
  • fórmula da distância pra achar o raio,
  • equação geral da circunferência,
  • interseção de reta com circunferência e soma das raízes.

Passo 2

Primeiro, o centro C da circunferência é o ponto médio de P e Q:
C(xP+xQ2,;yP+yQ2) = l(3+(-1)2,;1+(-1)2r) = (1,0)
Depois, o raio r é metade da distância PQ. A distância PQ é
PQ = raiz(3 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 = raiz4^2 + 2^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5,
logo
r = PQ2 = raiz5

Passo 3

Com isso, a equação da circunferência fica
(x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (raiz5)^2 = 5
A reta bissetriz dos quadrantes ímpares (I e III) é simplesmente
y = x

Passo 4

Para achar os pontos de interseção, substituímos (x-1)^2 + x^2 = 5;;Longrightarrow;; x^2 -2x +1 + x^2 -5 =0;;Longrightarrow;; 2x^2 -2x -4 =0 na equação da circunferência:
x^2 - x - 2 = 0
Dividindo tudo por 2:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 ;;Longrightarrow;; x = 2 ;ou; x = -1
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 5

Os abscissas dos pontos de interseção são 2 + (-1) = 1 e . A soma delas é

Resposta

A soma das abscissas vale 1.

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