Uma criança está brincando com blocos retangulares e pretende construir um prédio em forma de paralelepípedo retangular. Todas as peças que a criança possui são iguais, têm o formato de paralelepípedo retângulo de dimensões
, e podem ser unidas a partir de qualquer uma de suas faces. A criança dispõe de 120 peças para a sua construção e quer utilizar todas elas, empilhando-as em camadas com as mesmas quantidades de peças. A base do prédio será composta de 20 peças dispostas lado a lado, sem espaço entre elas. Sendo
a diferença entre a maior e a menor área das bases dos prédios que a criança poderá construir, em
, e H o valor, em módulo, da diferença entre as alturas desses mesmos dois prédios, em cm.
Qual o valor, em cm, para a razão
?
Qual o valor, em cm, para a razão
Passo 1
Tranquilo, vamos mandar bala! O enunciado diz que a criança tem 120 bloquinhos idênticos, cada um com dimensões 2 cm × 4 cm × 1 cm, e quer empilhar todos em camadas iguais. A base (o “pé” do prédio) é sempre formada por 20 peças alinhadas, sem espaço. Definimos:
• A = diferença entre a maior e a menor área de base possíveis (em cm²).
• H = diferença, em módulo, entre as duas alturas extremas possíveis (em cm).
E o que pedem é a razão A/H.
Conteúdo: geometria de sólidos (área de base e altura de paralelepípedos), permuta de orientações dos blocos e cálculos de diferença.
• A = diferença entre a maior e a menor área de base possíveis (em cm²).
• H = diferença, em módulo, entre as duas alturas extremas possíveis (em cm).
E o que pedem é a razão A/H.
Conteúdo: geometria de sólidos (área de base e altura de paralelepípedos), permuta de orientações dos blocos e cálculos de diferença.
Passo 2
Primeiro, quantas camadas teremos? Como cada camada usa 20 peças e no total são 120, o número de camadas é
Ou seja, o prédio terá sempre 6 “pavimentos” de blocos empilhados.
Passo 3
Cada bloco pode ficar “deitado” de três jeitos, e isso muda a face que fica pra cima (base) e a espessura (altura por camada):
- Espessura = 1 cm → face de cima = 2 cm × 4 cm
- Espessura = 2 cm → face de cima = 1 cm × 4 cm
- Espessura = 4 cm → face de cima = 1 cm × 2 cm
Para cada orientação, area de cada face de bloco é o produto dos dois lados que ficam no plano da base.
Passo 4
Vamos às áreas de base totais (20 blocos × área da face) e alturas totais (6 camadas × espessura):
Orientação A (mais “chapadinha” – espessura 1 cm):
• Área de cada face = cm²
• Área total da base = cm²
• Altura total = cm
• Área de cada face =
• Área total da base =
• Altura total =
Orientação B (espessura 2 cm):
• Área de cada face = cm²
• Área total da base = cm²
• Altura total = cm
• Área de cada face =
• Área total da base =
• Altura total =
Orientação C (mais “grosso” – espessura 4 cm):
• Área de cada face = cm²
• Área total da base = cm²
• Altura total = cm
• Área de cada face =
• Área total da base =
• Altura total =
Passo 5
Agora determinamos A e H:
• A = diferença entre maior e menor área de base = cm²
• H = diferença entre maior e menor altura = cm
• A = diferença entre maior e menor área de base =
• H = diferença entre maior e menor altura =
Pede-se a razão
: