Dada a equação
, pede-se:
a) Isole as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e três positivas nos intervalos
e
, respectivamente. [-3,-2],[-2,1],[0,1],[1,2],[3,4]
b) Utilizando o método da bisseção, calcule a sua menor raiz positiva com precisão 0,040. Raíz
a) Isole as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e três positivas nos intervalos
b) Utilizando o método da bisseção, calcule a sua menor raiz positiva com precisão 0,040. Raíz
Passo 1
Beleza, olha o que a gente tem aqui: uma equação polinomial
.
Conteúdo: isolamento de raízes reais (teorema do valor intermediário) e método da bisseção.
O que vamos usar:
Conteúdo: isolamento de raízes reais (teorema do valor intermediário) e método da bisseção.
O que vamos usar:
- Avaliar
em pontos para ver mudança de sinal e isolar cada raiz. - A bisseção pra achar a menor raiz positiva com tolerância (precision) de 0,040.
Passo 2
Teorema do valor intermediário: se
, existe pelo menos uma raiz em
.
Vamos avaliar nos pontos dados e ver onde muda de sinal:
Vamos avaliar
-
Intervalo
:
(negativo)
(positivo)
=> muda de sinal, raiz em. -
Intervalo
:
(positivo)
(negativo)
=> muda de sinal entree , logo uma raiz em . -
Intervalo
:
(negativo)
(positivo)
=> raiz em. -
Intervalo
:
(positivo)
(negativo)
=> raiz em. -
Intervalo
:
(negativo)
(positivo)
=> raiz em.
Passo 3
Já isolamos as 5 raízes reais:
• Em
• Em
• Em
• Em
• Em
• Em
• Em
• Em
• Em
• Em
Agora, parte (b): menor raiz positiva está no intervalo
. Vamos fazer bisseção até
.
Passo 4
Aplicando bisseção em
:
- m₁=(0+1)/2=0.5; f(0.5)≈−0.71875 → sinal negativo → raiz em [0.5,1], largura=0.5
- m₂=(0.5+1)/2=0.75; f(0.75)≈+1.7139 → positivo → raiz em [0.5,0.75], largura=0.25
- m₃=(0.5+0.75)/2=0.625; f(0.625)≈+0.5968 → positivo → raiz em [0.5,0.625], largura=0.125
- m₄=(0.5+0.625)/2=0.5625; f(0.5625)≈−0.0422 → negativo → raiz em [0.5625,0.625], largura=0.0625
- m₅=(0.5625+0.625)/2=0.59375; f(0.59375)≈+0.2753 → positivo → raiz em [0.5625,0.59375], largura=0.03125
Agora
, então paramos.
Resposta
a) Raízes isoladas em
(-3,−2), (−2,0), (0,1), (1,2) e (3,4).
b) Menor raiz positiva ≃ ponto médio de [0.5625, 0.59375], ou seja
(com precisão 0,04).
(-3,−2), (−2,0), (0,1), (1,2) e (3,4).
b) Menor raiz positiva ≃ ponto médio de [0.5625, 0.59375], ou seja