Dada a equação f(x)=x^5-2 x^4-7 x^3+9 x^2+8 x-6=0, pede-se:
a) Isole as suas raízes reais sabendo-se que são duas negativas e três positivas nos intervalos (-4,0) e (0,8), respectivamente. [-3,-2],[-2,1],[0,1],[1,2],[3,4]
b) Utilizando o método da bisseção, calcule a sua menor raiz positiva com precisão 0,040. Raíz =(0.5625) / /|b-a|<0.04

Passo 1

Beleza, olha o que a gente tem aqui: uma equação polinomial
.
Conteúdo: isolamento de raízes reais (teorema do valor intermediário) e método da bisseção.
O que vamos usar:
  1. Avaliar em pontos para ver mudança de sinal e isolar cada raiz.
  2. A bisseção pra achar a menor raiz positiva com tolerância (precision) de 0,040.

Passo 2

Teorema do valor intermediário: se , existe pelo menos uma raiz em .
Vamos avaliar nos pontos dados e ver onde muda de sinal:
  1. Intervalo :
    (negativo)
    (positivo)
    => muda de sinal, raiz em .
  2. Intervalo :
    (positivo)
    (negativo)
    => muda de sinal entre e , logo uma raiz em .
  3. Intervalo :
    (negativo)
    (positivo)
    => raiz em .
  4. Intervalo :
    (positivo)
    (negativo)
    => raiz em .
  5. Intervalo :
    (negativo)
    (positivo)
    => raiz em .

Passo 3

Já isolamos as 5 raízes reais:
• Em
• Em
• Em
• Em
• Em
Agora, parte (b): menor raiz positiva está no intervalo . Vamos fazer bisseção até .

Passo 4

Aplicando bisseção em :
  1. m₁=(0+1)/2=0.5; f(0.5)≈−0.71875 → sinal negativo → raiz em [0.5,1], largura=0.5
  2. m₂=(0.5+1)/2=0.75; f(0.75)≈+1.7139 → positivo → raiz em [0.5,0.75], largura=0.25
  3. m₃=(0.5+0.75)/2=0.625; f(0.625)≈+0.5968 → positivo → raiz em [0.5,0.625], largura=0.125
  4. m₄=(0.5+0.625)/2=0.5625; f(0.5625)≈−0.0422 → negativo → raiz em [0.5625,0.625], largura=0.0625
  5. m₅=(0.5625+0.625)/2=0.59375; f(0.59375)≈+0.2753 → positivo → raiz em [0.5625,0.59375], largura=0.03125
Agora , então paramos.

Resposta

a) Raízes isoladas em
(-3,−2), (−2,0), (0,1), (1,2) e (3,4).
b) Menor raiz positiva ≃ ponto médio de [0.5625, 0.59375], ou seja
(com precisão 0,04).

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