Classificação de Equações Diferenciais Classifique cada equação diferencial quanto à ordem e ao tipo (linear ou não linear):
\frac{d y}{d x}+3 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} + 3y = 0
e pede para classificá‑la quanto à ordem e quanto ao tipo (linear ou não linear). Informações relevantes que temos:
  • A equação envolve a derivada \frac{dy}{dx} e a função y.
  • Não há outras derivadas de ordem superior aparentes.
  • Não há termos que sejam funções não lineares de y (a princípio).

Passo 2

O que é “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação.
  • Exemplos rápidos: se aparece \frac{d^2y}{dx^2}, a ordem é 2; se a maior derivada for \frac{dy}{dx}, a ordem é 1.
    Aplicando isso à equação dada: a maior derivada presente é \frac{dy}{dx}, portanto a ordem é
\text{ordem} = 1.

Passo 3

O que significa a equação ser “linear” em relação a y?
  • Uma equação diferencial é linear se y e todas as suas derivadas aparecem com potência 1 (ou seja, não aparecem termos como y^2, \sin(y), y\cdot y', etc.) e aparecem apenas multiplicadas por funções do independente (aqui x) ou por constantes, mais um termo independente (fonte) que também pode ser função de x.
  • A forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem é
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x.
  • Aqui, x é a variável independente e y é a função dependente y(x).

Passo 4

Aplique a definição à equação dada:
Compare
\frac{dy}{dx} + 3y = 0
com a forma padrão \frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x). Vemos que:
  • p(x) = 3 (uma constante, que é um caso particular de função de x),
  • q(x) = 0.
    Não há potências de y diferentes de 1, nem produtos não lineares envolvendo y ou suas derivadas. Portanto a equação é linear. (Observação didática: por ter q(x)=0 ela é também homogênea, mas isso é informação extra — o que foi pedido é apenas “linear ou não”.)

Passo 5

Um contraste rápido para fixar a ideia:
  • Exemplo linear: \frac{dy}{dx} + 2x\,y = \sin x — linear porque y aparece só com potência 1.
  • Exemplo não linear: \frac{dy}{dx} + y^2 = 0 — não linear porque há y^2.
    Esse contraste ajuda a reconhecer rapidamente o tipo numa prova.

Resposta

Ordem: 1
Tipo: linear

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