Classificação de Equações Diferenciais Classifique cada equação diferencial quanto à ordem e ao tipo (linear ou não linear):
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para classificá‑la quanto à ordem e quanto ao tipo (linear ou não linear). Informações relevantes que temos:
- A equação envolve a derivada
e a função . - Não há outras derivadas de ordem superior aparentes.
- Não há termos que sejam funções não lineares de
(a princípio).
Passo 2
O que é “ordem” de uma equação diferencial?
- A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação.
- Exemplos rápidos: se aparece
, a ordem é ; se a maior derivada for , a ordem é .
Aplicando isso à equação dada: a maior derivada presente é, portanto a ordem é
Passo 3
O que significa a equação ser “linear” em relação a
?
- Uma equação diferencial é linear se
e todas as suas derivadas aparecem com potência (ou seja, não aparecem termos como , , , etc.) e aparecem apenas multiplicadas por funções do independente (aqui ) ou por constantes, mais um termo independente (fonte) que também pode ser função de . - A forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem é
onde
e
são funções conhecidas de
.
- Aqui,
é a variável independente e é a função dependente .
Passo 4
Aplique a definição à equação dada:
Compare
Compare
com a forma padrão
. Vemos que:
-
(uma constante, que é um caso particular de função de ), -
.
Não há potências dediferentes de , nem produtos não lineares envolvendo ou suas derivadas. Portanto a equação é linear. (Observação didática: por ter ela é também homogênea, mas isso é informação extra — o que foi pedido é apenas “linear ou não”.)
Passo 5
Um contraste rápido para fixar a ideia:
- Exemplo linear:
— linear porque aparece só com potência . - Exemplo não linear:
— não linear porque há .
Esse contraste ajuda a reconhecer rapidamente o tipo numa prova.
Resposta
Ordem:
Tipo: linear
Tipo: linear