Considere o seguinte sistema de equações lineares
\left[\begin{array}{lll} 5 & 1 & 1 \\\\ 3 & 4 & 1 \\\\ 3 & 3 & 6 \end{array}\right]\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 5 \\\\ 6 \\\\ 0 \end{array}\right)
Resolver usando, se possível, todos os métodos diretos e iterativos (duas iterações a partir de uma solução inicial dada e análise de convergência).

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 4 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\[2pt]6\\[2pt]0\end{pmatrix}
e pede:
  1. Resolver por métodos diretos (obter a solução exata).
  2. Aplicar métodos iterativos (pelo menos Jacobi e Gauss–Seidel são os mais usuais), fazer duas iterações a partir de uma solução inicial dada — como o enunciado não deu uma inicial, vou usar a inicial padrão \displaystyle x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Vou explicitar cada iteração.
  3. Analisar a convergência dos métodos (se convergem e com que rapidez).
As informações relevantes já estão todas acima: matriz A, vetor b e (por minha escolha explícita) inicial x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Explicação rápida dos métodos diretos que vou usar (e por que): Gaussian elimination (eliminação de Gauss) e decomposição LU são dois modos diretos padrão. Ambos levam a solução exata em número finito de operações sem iteração (assumindo pivôs não nulos). Vou executar eliminação passo a passo — isso também permite extrair os multiplicadores para formar L e U.
Regra básica da eliminação: usamos linhas para zerar abaixo da diagonal principal, aplicando a operação
\text{Row}_i \leftarrow \text{Row}_i - m_{i1}\,\text{Row}_1,
onde m_{i1}=\dfrac{a_{i1}}{a_{11}} é o multiplicador. Depois repetimos nas colunas subsequentes.
Começo montando a matriz aumentada \left[A\mid b\right]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 3 & 4 & 1 & 6\\[4pt] 3 & 3 & 6 & 0 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeira etapa da eliminação: zerar as entradas a_{21} e a_{31} usando a primeira linha.
Multiplicadores:
m_{21}=\frac{3}{5},\qquad m_{31}=\frac{3}{5}.
Aplicando:
Row2 ← Row2 − m_{21} Row1:
\begin{aligned} &3 - \frac{3}{5}\cdot 5 = 0,\\[4pt] &4 - \frac{3}{5}\cdot 1 = 4 - 0{,}6 = 3{,}4 = \frac{17}{5},\\[4pt] &1 - \frac{3}{5}\cdot 1 = 0{,}4 = \frac{2}{5},\\[4pt] &6 - \frac{3}{5}\cdot 5 = 6 - 3 = 3. \end{aligned}
Row3 ← Row3 − m_{31} Row1:
\begin{aligned} &3 - \frac{3}{5}\cdot 5 = 0,\\[4pt] &3 - \frac{3}{5}\cdot 1 = 3 - 0{,}6 = 2{,}4 = \frac{12}{5},\\[4pt] &6 - \frac{3}{5}\cdot 1 = 5{,}4 = \frac{27}{5},\\[4pt] &0 - \frac{3}{5}\cdot 5 = -3. \end{aligned}
Matriz aumentada após a primeira etapa:
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & \tfrac{17}{5} & \tfrac{2}{5} & 3\\[6pt] 0 & \tfrac{12}{5} & \tfrac{27}{5} & -3 \end{array}\right].]

Passo 4

Segunda etapa: zerar a entrada a_{32} usando a segunda linha. O multiplicador é
m_{32}=\frac{\tfrac{12}{5}}{\tfrac{17}{5}}=\frac{12}{17}.
Aplicando Row3 ← Row3 − m_{32} Row2:
Cálculos (usei frações para não perder exatidão):
\begin{aligned} \text{novo }a_{33}&=\frac{27}{5}-\frac{12}{17}\cdot\frac{2}{5} =\frac{27}{5}-\frac{24}{85} =\frac{27\cdot 17 - 24}{85}=\frac{459-24}{85}=\frac{435}{85}=\frac{87}{17},\\[6pt] \text{novo }b_3&=-3-\frac{12}{17}\cdot 3=-3-\frac{36}{17}=-\frac{51+36}{17}=-\frac{87}{17}. \end{aligned}
Agora a matriz aumentada é triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 0 & \tfrac{17}{5} & \tfrac{2}{5} & 3\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{87}{17} & -\tfrac{87}{17} \end{array}\right].]

Passo 5

Retro-substituição (back substitution) para obter x.
Terceira equação:
\frac{87}{17}\,x_3 = -\frac{87}{17}\quad\Rightarrow\quad x_3 = -1.
Segunda equação:
\frac{17}{5}\,x_2 + \frac{2}{5}\,x_3 = 3.
Substituindo x_3=-1:
\frac{17}{5}\,x_2 + \frac{2}{5}(-1)=3 \quad\Rightarrow\quad \frac{17}{5}x_2 -\frac{2}{5}=3.
Multiplicando por 5:
17 x_2 -2 = 15 \quad\Rightarrow\quad 17 x_2 = 17 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 1.
Primeira equação:
5 x_1 + x_2 + x_3 = 5.
Com x_2=1,\\ x_3=-1:
5 x_1 + 1 -1 = 5 \quad\Rightarrow\quad 5 x_1 = 5 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1.
Logo a solução exata é
x=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Decomposição LU (Doolittle) usando os multiplicadores já computados — aqui mostro como extrair L e U a partir dos passos acima, útil porque dá uma forma direta de resolver Ax=b com duas substituições.
Construção:
  • U é a matriz triangular superior obtida ao final da eliminação:
U=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 1\\[4pt] 0 & \tfrac{17}{5} & \tfrac{2}{5}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{87}{17} \end{pmatrix}.
  • L tem 1 na diagonal e os multiplicadores abaixo da diagonal:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{3}{5} & 1 & 0\\[4pt] \tfrac{3}{5} & \tfrac{12}{17} & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: LU=A. Para resolver Ax=b fazemos Ly=b (forward substitution) e depois Ux=y (back substitution). Se fizer isso obteremos a mesma solução x=(1,1,-1)^T. (Isso reproduce as contas que fizemos na eliminação.)]

Passo 7

Agora métodos iterativos — explicação das fórmulas e derivação das iterações.
Escrevemos A x = b com A = D + L + U, onde D é a diagonal de A, L é a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior. Para a nossa matriz:
D=\begin{pmatrix}5&0&0\\[2pt]0&4&0\\[2pt]0&0&6\end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix}0&0&0\\[2pt]3&0&0\\[2pt]3&3&0\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}0&1&1\\[2pt]0&0&1\\[2pt]0&0&0\end{pmatrix}.
Jacobi: atualização simultânea
x^{(k+1)} = D^{-1}\bigl(b - (L+U)x^{(k)}\bigr).
O operador de iteração (matriz que multiplica x^{(k)}) é
B_J = -D^{-1}(L+U).
Gauss–Seidel: atualização sequencial (usa componentes já atualizadas)
x^{(k+1)} = (D+L)^{-1}\bigl(b - U x^{(k)}\bigr),
com operador de iteração
B_{GS} = -(D+L)^{-1}U.
A convergência de cada método depende do raio espectral \rho(B) (o máximo dos módulos dos autovalores). Se \rho(B)<1 o método converge para a solução exata a partir de qualquer inicial; quanto menor \rho(B), mais rápido costuma convergir.]

Passo 8

Calcular explicitamente as fórmulas iterativas (componentes) para facilitar as iterações à mão.
Do sistema original, isolando cada componente (forma prática):
\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{5}\bigl(5 - x_2 - x_3\bigr),\\[6pt] x_2 &= \frac{1}{4}\bigl(6 - 3x_1 - x_3\bigr),\\[6pt] x_3 &= \frac{1}{6}\bigl(-3x_1 - 3x_2\bigr)= -\tfrac{1}{2}(x_1+x_2). \end{aligned}
Essas fórmulas são o que o método de Jacobi usa substituindo o lado direito por valores de x^{(k)}, e o que o Gauss–Seidel usa em sequência (usando imediatamente as componentes já atualizadas).]

Passo 9

Executar Jacobi com x^{(0)}=(0,0,0)^T.
Iteração 1 (tudo com x^{(0)}):
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \frac{1}{5}(5 - 0 - 0) = 1,\\[4pt] x_2^{(1)} &= \frac{1}{4}(6 - 0 - 0) = 1{,}5,\\[4pt] x_3^{(1)} &= -\tfrac{1}{2}(0 + 0) = 0. \end{aligned}
Assim
x^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]1{,}5\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Iteração 2 (usar x^{(1)}):
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \frac{1}{5}(5 - 1{,}5 - 0) = \frac{3{,}5}{5} = 0{,}7,\\[4pt] x_2^{(2)} &= \frac{1}{4}(6 - 3\cdot 1 - 0) = \frac{3}{4} = 0{,}75,\\[4pt] x_3^{(2)} &= -\tfrac{1}{2}(1 + 1{,}5) = -\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}5 = -1{,}25. \end{aligned}
Assim
x^{(2)} = \begin{pmatrix}0{,}7\\[2pt]0{,}75\\[2pt]-1{,}25\end{pmatrix}.]

Passo 10

Executar Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0)^T (usando valores já atualizados dentro da mesma iteração).
Iteração 1:
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \frac{1}{5}(5 - 0 - 0) = 1,\\[4pt] x_2^{(1)} &= \frac{1}{4}(6 - 3\cdot x_1^{(1)} - 0) = \frac{1}{4}(6 - 3) = 0{,}75,\\[4pt] x_3^{(1)} &= -\tfrac{1}{2}\bigl(x_1^{(1)} + x_2^{(1)}\bigr)= -\tfrac{1}{2}(1 + 0{,}75) = -0{,}875. \end{aligned}
Logo
x^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]0{,}75\\[2pt]-0{,}875\end{pmatrix}.
Iteração 2:
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \frac{1}{5}\bigl(5 - x_2^{(1)} - x_3^{(1)}\bigr) = \frac{1}{5}\bigl(5 - 0{,}75 - (-0{,}875)\bigr) = \frac{5{,}125}{5} = 1{,}025,\\[6pt] x_2^{(2)} &= \frac{1}{4}\bigl(6 - 3 x_1^{(2)} - x_3^{(1)}\bigr) = \frac{1}{4}\bigl(6 - 3\cdot 1{,}025 - (-0{,}875)\bigr) = \frac{3{,}8}{4}=0{,}95,\\[6pt] x_3^{(2)} &= -\tfrac{1}{2}\bigl(x_1^{(2)} + x_2^{(2)}\bigr) = -\tfrac{1}{2}(1{,}025 + 0{,}95)= -\tfrac{5{,}925}{6} = -0{,}9875. \end{aligned}
Assim
x^{(2)} = \begin{pmatrix}1{,}025\\[2pt]0{,}95\\[2pt]-0{,}9875\end{pmatrix}.]

Passo 11

Análise de convergência (raio espectral dos operadores de iteração).
Jacobi:
B_J = -D^{-1}(L+U).
Calculando numericamente
B_J= \begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{3}{4} & 0 & -\tfrac{1}{4}\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.
O polinômio característico deste B_J é
\lambda^3 - 0{,}375\,\lambda + 0{,}1 = 0,
cuja raiz real de maior módulo é aproximadamente \lambda\approx -0{,}717. Os outros dois autovalores são complexos conjungados de módulo menor (produto dos dois é positivo pequeno). Assim o raio espectral é aproximadamente
\rho(B_J)\approx 0{,}717 < 1,
portanto o método de Jacobi converge (mas não tão rápido).
Gauss–Seidel:
B_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
Calculando explicitamente (resolvendo sistemas triangulares para as colunas) obtemos
B_{GS}= \begin{pmatrix} 0 & -0{,}2 & -0{,}2\\[4pt] 0 & 0{,}15 & -0{,}1\\[4pt] 0 & 0{,}025 & 0{,}15 \end{pmatrix}.
Por observar a estrutura (primeira coluna nula) e calcular o determinante, os autovalores são
\lambda_1 = 0,\qquad \lambda_{2,3} = 0{,}15 \pm 0{,}05\,i,
cujo módulo é \sqrt{0{,}15^2+0{,}05^2}=\sqrt{0{,}025}=0{,}1581138\ldots. Assim
\rho(B_{GS})\approx 0{,}1581 < 1.
Portanto Gauss–Seidel converge, e muito mais rapidamente que Jacobi (raio espectral bem menor).
Observação intuitiva: como \rho(B_{GS}) é bem menor que \rho(B_J), as iterações de Gauss–Seidel reduzem o erro muito mais rápido; isso explica por que em duas iterações x^{(2)} de Gauss–Seidel está bem mais próximo da solução exata do que x^{(2)} de Jacobi.]

Passo 12

Resumo/checagem: a solução exata obtida por eliminação/ LU é x=(1,1,-1)^T. As iterações mostram convergência em ambos os métodos a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^T; Gauss–Seidel converge mais rápido (isto ficou claro nos dois primeiros passos numéricos e na análise espectral).

Resposta

Solução exata: \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}
Jacobi (inicial \displaystyle x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}):
\displaystyle x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1{,}5\\[2pt]0\end{pmatrix},
\displaystyle x^{(2)}=\begin{pmatrix}0{,}7\\[2pt]0{,}75\\[2pt]-1{,}25\end{pmatrix}.
Convergência: \rho(B_J)\approx 0{,}717<1 (converge).
Gauss–Seidel (inicial \displaystyle x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}):
\displaystyle x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0{,}75\\[2pt]-0{,}875\end{pmatrix},
\displaystyle x^{(2)}=\begin{pmatrix}1{,}025\\[2pt]0{,}95\\[2pt]-0{,}9875\end{pmatrix}.
Convergência: \rho(B_{GS})\approx 0{,}1581<1 (converge e bem mais rápido que Jacobi).
Decomposição LU:
\displaystyle L=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]\tfrac{3}{5}&1&0\\[4pt]\tfrac{3}{5}&\tfrac{12}{17}&1\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}5&1&1\\[4pt]0&\tfrac{17}{5}&\tfrac{2}{5}\\[4pt]0&0&\tfrac{87}{17}\end{pmatrix}.]

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