Resolver por métodos diretos (obter a solução exata).
Aplicar métodos iterativos (pelo menos Jacobi e Gauss–Seidel são os mais usuais), fazer duas iterações a partir de uma solução inicial dada — como o enunciado não deu uma inicial, vou usar a inicial padrão \displaystyle x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Vou explicitar cada iteração.
Analisar a convergência dos métodos (se convergem e com que rapidez).
As informações relevantes já estão todas acima: matriz A, vetor b e (por minha escolha explícita) inicial x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.]
Passo 2
Explicação rápida dos métodos diretos que vou usar (e por que): Gaussian elimination (eliminação de Gauss) e decomposição LU são dois modos diretos padrão. Ambos levam a solução exata em número finito de operações sem iteração (assumindo pivôs não nulos). Vou executar eliminação passo a passo — isso também permite extrair os multiplicadores para formar L e U.
Regra básica da eliminação: usamos linhas para zerar abaixo da diagonal principal, aplicando a operação
Decomposição LU (Doolittle) usando os multiplicadores já computados — aqui mostro como extrair L e U a partir dos passos acima, útil porque dá uma forma direta de resolver Ax=b com duas substituições.
Construção:
U é a matriz triangular superior obtida ao final da eliminação:
Verificação rápida: LU=A. Para resolver Ax=b fazemos Ly=b (forward substitution) e depois Ux=y (back substitution). Se fizer isso obteremos a mesma solução x=(1,1,-1)^T. (Isso reproduce as contas que fizemos na eliminação.)]
Passo 7
Agora métodos iterativos — explicação das fórmulas e derivação das iterações.
Escrevemos A x = b com A = D + L + U, onde D é a diagonal de A, L é a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior. Para a nossa matriz:
O operador de iteração (matriz que multiplica x^{(k)}) é
B_J = -D^{-1}(L+U).
Gauss–Seidel: atualização sequencial (usa componentes já atualizadas)
x^{(k+1)} = (D+L)^{-1}\bigl(b - U x^{(k)}\bigr),
com operador de iteração
B_{GS} = -(D+L)^{-1}U.
A convergência de cada método depende do raio espectral \rho(B) (o máximo dos módulos dos autovalores). Se \rho(B)<1 o método converge para a solução exata a partir de qualquer inicial; quanto menor \rho(B), mais rápido costuma convergir.]
Passo 8
Calcular explicitamente as fórmulas iterativas (componentes) para facilitar as iterações à mão.
Do sistema original, isolando cada componente (forma prática):
Essas fórmulas são o que o método de Jacobi usa substituindo o lado direito por valores de x^{(k)}, e o que o Gauss–Seidel usa em sequência (usando imediatamente as componentes já atualizadas).]
cuja raiz real de maior módulo é aproximadamente \lambda\approx -0{,}717. Os outros dois autovalores são complexos conjungados de módulo menor (produto dos dois é positivo pequeno). Assim o raio espectral é aproximadamente
\rho(B_J)\approx 0{,}717 < 1,
portanto o método de Jacobi converge (mas não tão rápido).
Gauss–Seidel:
B_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
Calculando explicitamente (resolvendo sistemas triangulares para as colunas) obtemos
cujo módulo é \sqrt{0{,}15^2+0{,}05^2}=\sqrt{0{,}025}=0{,}1581138\ldots. Assim
\rho(B_{GS})\approx 0{,}1581 < 1.
Portanto Gauss–Seidel converge, e muito mais rapidamente que Jacobi (raio espectral bem menor).
Observação intuitiva: como \rho(B_{GS}) é bem menor que \rho(B_J), as iterações de Gauss–Seidel reduzem o erro muito mais rápido; isso explica por que em duas iterações x^{(2)} de Gauss–Seidel está bem mais próximo da solução exata do que x^{(2)} de Jacobi.]
Passo 12
Resumo/checagem: a solução exata obtida por eliminação/ LU é x=(1,1,-1)^T. As iterações mostram convergência em ambos os métodos a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^T; Gauss–Seidel converge mais rápido (isto ficou claro nos dois primeiros passos numéricos e na análise espectral).
\displaystyle x^{(2)}=\begin{pmatrix}1{,}025\\[2pt]0{,}95\\[2pt]-0{,}9875\end{pmatrix}.
Convergência: \rho(B_{GS})\approx 0{,}1581<1 (converge e bem mais rápido que Jacobi).