Resolva o sistema não linear abaixo, pelo método de Gauss-Seidel, \operatorname{com} x^{0}=(1,0) e \varepsilon= 10^{-4}.
\left\{\begin{array}{c} x^{2}+y^{2}=4 \\\ x-y=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=4\\[4pt] x-y=1 \end{array}\right.
pelo método de Gauss–Seidel, usando o palpite inicial [,x^{0}=(1,0),) (ou seja \,x^{0}=1,\;y^{0}=0) e tolerância \varepsilon=10^{-4}.
Informações dadas:
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=4,\\[4pt] x-y=1,\\[4pt] x^{0}=1,\;y^{0}=0,\\[4pt] \varepsilon=10^{-4}. \end{cases}
O que se pede: aplicar iterativamente o método de Gauss–Seidel até que a variação entre duas iterações sucessivas seja menor que (\varepsilon], e então dar a solução obtida.]

Passo 2

Reescrevendo as equações para usar em iterações de ponto fixo (rearranjamento): da segunda equação temos explicitamente
y = x-1.
Da primeira equação temos duas possibilidades para x em função de y:
x = \pm\sqrt{4-y^{2}}.
No método de Gauss–Seidel para sistemas não lineares, usamos uma forma de ponto fixo atualizando uma variável de cada vez usando as expressões obtidas, e quando atualizamos a segunda variável usamos já o valor recém-calculado da primeira. Aqui adotaremos a escolha do ramo x=+\sqrt{4-y^{2}} porque o palpite inicial (1,0) tem x>0 e a iteração com a raiz positiva mantêm x positivo — isto tende a convergir para a solução com x>0. (Se escolhermos o sinal negativo, a iteração tenderia para a solução com x<0.)
Assim as funções de iteração (Gauss–Seidel) ficam:
\begin{cases} x^{(k+1)} = \sqrt{\,4 - \bigl(y^{(k)}\bigr)^{2}\,},\\[6pt] y^{(k+1)} = x^{(k+1)} - 1. \end{cases}]

Passo 3

Explicando o método e o critério de parada (didático, passo a passo):
  • Gauss–Seidel para não lineares: em cada iteração k atualizamos x usando o valor atual de y (aqui y^{(k)}), obtendo x^{(k+1)}. Em seguida atualizamos y usando o novo x^{(k+1)}.
  • Critério de parada: vamos usar a norma infinity da diferença entre iterações sucessivas, ou seja paramos quando
\max\bigl(|x^{(k+1)}-x^{(k)}|,\;|y^{(k+1)}-y^{(k)}|\bigr) < \varepsilon.
  • Começamos com (x^{(0)},y^{(0)})=(1,0) e aplicamos as fórmulas do Passo 2 repetidamente.
Agora vou calcular iterações uma a uma, mostrando os cálculos de cada atualização e as diferenças.

Passo 4

Iteração k=0 \to 1:
x^{(1)}=\sqrt{4-(y^{(0)})^{2}}=\sqrt{4-0^{2}}=\sqrt{4}=2.000000000
y^{(1)}=x^{(1)}-1=2.000000000-1=1.000000000
Diferenças:
|x^{(1)}-x^{(0)}|=|2-1|=1,\qquad |y^{(1)}-y^{(0)}|=|1-0|=1.
Não satisfaz \varepsilon.

Passo 5

Iteração k=1 \to 2:
x^{(2)}=\sqrt{4-(y^{(1)})^{2}}=\sqrt{4-1^{2}}=\sqrt{3}=1{,}7320508075688772
y^{(2)}=x^{(2)}-1=0{,}7320508075688772
Diferenças:
|x^{(2)}-x^{(1)}|\approx0{,}2679491924311228,\qquad |y^{(2)}-y^{(1)}|\approx0{,}2679491924311228.
Ainda maior que \varepsilon.

Passo 6

Iteração k=2 \to 3:
x^{(3)}=\sqrt{4-(y^{(2)})^{2}}=\sqrt{4-(0{,}7320508076)^{2}} =1{,}8612097182041991
y^{(3)}=x^{(3)}-1=0{,}8612097182041991
Diferenças:
|x^{(3)}-x^{(2)}|\approx0{,}129158910635322, \quad |y^{(3)}-y^{(2)}|\approx0{,}129158910635322.

Passo 7

Iteração k=3 \to 4:
x^{(4)}=\sqrt{4-(y^{(3)})^{2}}=\sqrt{4-(0{,}8612097182)^{2}} =1{,}8056431459827050
y^{(4)}=x^{(4)}-1=0{,}8056431459827050
Diferenças:
|x^{(4)}-x^{(3)}|\approx0{,}0555665722214941.

Passo 8

Iteração k=4 \to 5:
x^{(5)}=\sqrt{4-(y^{(4)})^{2}}=\sqrt{4-(0{,}80564314598)^{2}} =1{,}8309838859969163
y^{(5)}=x^{(5)}-1=0{,}8309838859969163
Diferenças:
|x^{(5)}-x^{(4)}|\approx0{,}0253407400142113.

Passo 9

Iteração k=5 \to 6:
x^{(6)}=\sqrt{4-(y^{(5)})^{2}}=\sqrt{4-(0{,}830983885997)^{2}} =1{,}8192594112903472
y^{(6)}=x^{(6)}-1=0{,}8192594112903472
Diferenças:
|x^{(6)}-x^{(5)}|\approx0{,}0117244747065691.

Passo 10

Iteração k=6 \to 7:
x^{(7)}=\sqrt{4-(y^{(6)})^{2}}=\sqrt{4-(0{,}81925941129)^{2}} =1{,}8244726625513096
y^{(7)}=x^{(7)}-1=0{,}8244726625513096
Diferenças:
|x^{(7)}-x^{(6)}|\approx0{,}0052132512609624.

Passo 11

Iteração k=7 \to 8:
x^{(8)}=\sqrt{4-(y^{(7)})^{2}}=\sqrt{4-(0{,}82447266255)^{2}} =1{,}8221868801296761
y^{(8)}=x^{(8)}-1=0{,}8221868801296761
Diferenças:
|x^{(8)}-x^{(7)}|\approx0{,}0022857824216335.

Passo 12

Iteração k=8 \to 9:
x^{(9)}=\sqrt{4-(y^{(8)})^{2}}\approx1{,}823337175964\quad(\text{aprox.})
y^{(9)}=x^{(9)}-1\approx0{,}823337175964
Diferenças:
|x^{(9)}-x^{(8)}|\approx0{,}001150295834.

Passo 13

Iteração k=9 \to 10:
x^{(10)}=\sqrt{4-(y^{(9)})^{2}}\approx1{,}822658941\quad(\text{aprox.})
y^{(10)}=x^{(10)}-1\approx0{,}822658941
Diferenças:
|x^{(10)}-x^{(9)}|\approx0{,}0006782349.

Passo 14

Iteração k=10 \to 11:
x^{(11)}=\sqrt{4-(y^{(10)})^{2}}\approx1{,}8230158\quad(\text{aprox.})
y^{(11)}=x^{(11)}-1\approx0{,}8230158
Diferenças:
|x^{(11)}-x^{(10)}|\approx0{,}00035686.

Passo 15

Iteração k=11 \to 12:
x^{(12)}=\sqrt{4-(y^{(11)})^{2}}\approx1{,}8228366\quad(\text{aprox.})
y^{(12)}=x^{(12)}-1\approx0{,}8228366
Diferenças:
|x^{(12)}-x^{(11)}|\approx0{,}0001792.

Passo 16

Iteração k=12 \to 13:
x^{(13)}=\sqrt{4-(y^{(12)})^{2}}\approx1{,}8229260\quad(\text{aprox.})
y^{(13)}=x^{(13)}-1\approx0{,}8229260
Diferenças:
|x^{(13)}-x^{(12)}|\approx8{,}93\times10^{-5}<10^{-4},
portanto o critério de parada \max(|\Delta x|,|\Delta y|)<\varepsilon é satisfeito na iteração 13.
Observação didática final: o método Gauss–Seidel convergiu para a solução com x>0. Podemos checar (fora da iteração) que a solução exata obtida substituindo y=x-1 em x^{2}+y^{2}=4 é a raiz da quadrática
2x^{2}-2x-3=0,
cuja solução positiva é
x=\frac{1+\sqrt{7}}{2}\approx1{,}8228756555\quad\text{e}\quad y=x-1\approx0{,}8228756555.
A aproximação obtida por Gauss–Seidel após a parada está dentro da tolerância pedida.

Resposta

x\approx1{,}8229
y\approx0{,}8229

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