O que se pede: aplicar iterativamente o método de Gauss–Seidel até que a variação entre duas iterações sucessivas seja menor que (\varepsilon], e então dar a solução obtida.]
Passo 2
Reescrevendo as equações para usar em iterações de ponto fixo (rearranjamento): da segunda equação temos explicitamente
y = x-1.
Da primeira equação temos duas possibilidades para x em função de y:
x = \pm\sqrt{4-y^{2}}.
No método de Gauss–Seidel para sistemas não lineares, usamos uma forma de ponto fixo atualizando uma variável de cada vez usando as expressões obtidas, e quando atualizamos a segunda variável usamos já o valor recém-calculado da primeira. Aqui adotaremos a escolha do ramo x=+\sqrt{4-y^{2}} porque o palpite inicial (1,0) tem x>0 e a iteração com a raiz positiva mantêm x positivo — isto tende a convergir para a solução com x>0. (Se escolhermos o sinal negativo, a iteração tenderia para a solução com x<0.)
Assim as funções de iteração (Gauss–Seidel) ficam:
Explicando o método e o critério de parada (didático, passo a passo):
Gauss–Seidel para não lineares: em cada iteração k atualizamos x usando o valor atual de y (aqui y^{(k)}), obtendo x^{(k+1)}. Em seguida atualizamos y usando o novo x^{(k+1)}.
Critério de parada: vamos usar a norma infinity da diferença entre iterações sucessivas, ou seja paramos quando
portanto o critério de parada \max(|\Delta x|,|\Delta y|)<\varepsilon é satisfeito na iteração 13.
Observação didática final: o método Gauss–Seidel convergiu para a solução com x>0. Podemos checar (fora da iteração) que a solução exata obtida substituindo y=x-1 em x^{2}+y^{2}=4 é a raiz da quadrática