Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(i) ( ) Se lim n +infty anbn=0 e sumn=1^+infty bn diverge, então sumn=1^+infty an diverge.

Passo 1

O enunciado diz: “Seja uma sequência (an) e outra (bn) tais que
limntoinftyanbn=0
e sabe-se que a série sum bn diverge. A afirmação é que daí segue que sum an também diverge.”
Conteúdo envolvido: séries numéricas e, em especial, o teste da comparação de limites. Para resolver, vamos revisar esse teste, ver em que casos ele é inconclusivo e então apresentar um contra-exemplo prático.

Passo 2

Relembrando o teste da comparação de limites para séries:
Sejam an>=0 e bn>=0 e existe o limite
L=limntoinftyanbn
– Se 0, então sum an e sum bn ou ambas convergem ou ambas divergem.
– Se L=0 ou L=+infty, o teste não dá informação definitiva: pode acontecer de uma série convergir e a outra divergir.
No nosso caso aparece exatamente L=0, então o teste NÃO garante que sum an diverge (ou converge) só porque sum bn diverge. Isso deixa brecha para um contra-exemplo.

Passo 3

Vamos construir um contra-exemplo clássico usando séries da forma p-séries:
Escolha
bn=1n,, an=1n^2,
1) A série sum bn=sum1n é a famosa série harmônica, que diverge.
2) A série sum an=sum1n^2 é a p-série com p=2>1, que converge.
3) Calculando o quociente:
anbn=1/n^21/n=1n;longrightarrow;0(ntoinfty),
Logo todas as hipóteses do enunciado estão satisfeitas, mas o comportamento das séries é oposto ao que a afirmação garantia (uma converge e a outra diverge).
Esse exemplo mostra que a afirmação é falsa.

Resposta

(F) A afirmação é falsa, como mostra o contra-exemplo acima.

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