Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(i) ( ) Se
e
diverge, então
diverge.
(i) ( ) Se
Passo 1
O enunciado diz: “Seja uma sequência
e outra
tais que
e sabe-se que a série
Conteúdo envolvido: séries numéricas e, em especial, o teste da comparação de limites. Para resolver, vamos revisar esse teste, ver em que casos ele é inconclusivo e então apresentar um contra-exemplo prático.
Passo 2
Relembrando o teste da comparação de limites para séries:
Sejam e
e existe o limite
Sejam
– Se
– Se
No nosso caso aparece exatamente
, então o teste NÃO garante que
diverge (ou converge) só porque
diverge. Isso deixa brecha para um contra-exemplo.
Passo 3
Vamos construir um contra-exemplo clássico usando séries da forma
-séries:
Escolha
Escolha
1) A série
2) A série
3) Calculando o quociente:
Logo todas as hipóteses do enunciado estão satisfeitas, mas o comportamento das séries é oposto ao que a afirmação garantia (uma converge e a outra diverge).
Esse exemplo mostra que a afirmação é falsa.
Resposta
(F) A afirmação é falsa, como mostra o contra-exemplo acima.