Considerando o problema de isolamento de raízes, para cada função f(x) e intervalo [a, b] abaixo, obtenha dois inteiros m e n tais que m=n-1 e o intervalo [m, n] contém pelo menos uma raiz de f(x). O intervalo [m, n] deve estar contido em [a, b], isto é, a <= m. Calcule o valor de funções trigonométricas utilizando o argumento em radianos.
f(x)=x^3-9 x+3
[-3,2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre isolamento de raízes: temos a função
f(x)=x^3-9x+3
no intervalo . A ideia é encontrar dois inteiros e tais que , e nesse pedacinho a gente garanta pelo menos uma raiz de . Pra isso vamos usar um resultado básico: se e tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em .

Passo 2

Teorema de Bolzano (ou do valor intermediário) simplificado:
Se é contínua em e , então existe tal que .
Nossa é um polinômio, super contínua. Então basta achar dois inteiros consecutivos onde mude de sinal.

Passo 3

Vamos calcular f(-3)=(-3)^3-9(-3)+3=-27+27+3=3 nos inteiros de f(-2)=(-2)^3-9(-2)+3=-8+18+3=13 até f(-1)=(-1)^3-9(-1)+3=-1+9+3=11:
f(0)=0^3-9cdot0+3=3
f(1)=1^3-9cdot1+3=1-9+3=-5
f(2)=2^3-9cdot2+3=8-18+3=-7

Passo 4

Agora olha onde muda o sinal de positivo pra negativo entre valores consecutivos:
  • De (positivo) para (negativo).
É a única troca de sinal no nosso intervalo de inteiros. Pelo Bolzano, então, existe pelo menos uma raiz em .

Resposta

m = 0, n = 1

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