Considerando o problema de isolamento de raízes, para cada função
e intervalo
abaixo, obtenha dois inteiros
e
tais que
e o intervalo
contém pelo menos uma raiz de
. O intervalo
deve estar contido em
, isto é,
. Calcule o valor de funções trigonométricas utilizando o argumento em radianos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre isolamento de raízes: temos a função
no intervalo
. A ideia é encontrar dois inteiros
e
tais que
,
e nesse pedacinho
a gente garanta pelo menos uma raiz de
. Pra isso vamos usar um resultado básico: se
e
tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 2
Teorema de Bolzano (ou do valor intermediário) simplificado:
Se é contínua em
e
, então existe
tal que
.
Nossa é um polinômio, super contínua. Então basta achar dois inteiros consecutivos onde
mude de sinal.
Se
Nossa
Passo 3
Vamos calcular
nos inteiros de
até
:
Passo 4
Agora olha onde muda o sinal de positivo pra negativo entre valores consecutivos:
- De
(positivo) para (negativo).
É a única troca de sinal no nosso intervalo de inteiros. Pelo Bolzano, então, existe pelo menos uma raiz em
.
Resposta
m = 0, n = 1