Prove que:
2 k-13^k=k3^k-1-k+13^k

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro 2k-13^k ;=; k3^k-1 ;-; k+13^k , vale a identidade
O conteúdo envolvido é manipulação de potências e operações com frações. Vamos usar a lei de potências para reescrever num denominador comum com , e depois subtrair frações de mesmo denominador.

Passo 2

Lembra da propriedade de potências:
3^k-1 = 3^k3 Longrightarrow 13^k-1 = 33^k
Então
k3^k-1 = k cdot 13^k-1 = k cdot 33^k = 3k3^k

Passo 3

Agora olhe para o lado direito da identidade original:
k3^k-1 ;-; k+13^k = 3k3^k ;-; k+13^k
Como as duas frações têm o mesmo denominador 3k - (k+1)3^k = 3k - k - 13^k = 2k - 13^k , basta subtrair os numeradores:

Passo 4

A conta deu exatamente k3^k-1 - k+13^k = 2k-13^k, , que é o lado esquerdo. Logo mostramos que
e a identidade está comprovada.

Resposta

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