Classifique e resolva os seguintes sistemas:

Passo 1

Beleza, a gente tem um sistema de 4 equações e 4 incógnitas: x, y, z e w. O objetivo é classificar (se é possível, impossível ou indeterminado) e achar todas as soluções.
Conteúdo: sistemas lineares, eliminação de Gauss e uso de parâmetros. Vamos precisar isolar variáveis, fazer substituições e, se der, parametricamente expressar as soluções.

Passo 2

Olha a primeira equação:
3z - 9w = 6
Divide tudo por 3 pra ficar mais simples:
z - 3w = 2 Longrightarrow z = 2 + 3w

Passo 3

Agora substitui x + 3y - z + 5w = -7 nas outras três equações:
• Equação 4:
x + 3y - (2+3w) + 5w = -7
fica
x + 3y - 2 -3w + 5w = -7
x + 3y + 2w = -5
4x + 12y - 2z + 14w = -24
• Equação 3:
4x + 12y -2(2+3w) +14w = -24
substituindo
4x + 12y -4 -6w +14w = -24
4x + 12y +8w = -20
x + 3y +2w = -5
dividindo por 4
5x +15y -10z +40w = -45
• Equação 2:
5x +15y -10(2+3w) +40w = -45
substituindo
5x +15y -20 -30w +40w = -45
5x +15y +10w = -25
x + 3y +2w = -5
dividindo por 5
x + 3y + 2w = -5
Todas as três dão exatamente a mesma relação

Passo 4

No fim, só temos duas equações independentes:
  1. y = t, w = s, t,sinR
  2. x = -5 - 3y - 2w = -5 -3t -2s,
Mas são quatro incógnitas, então sobra grau de liberdade. Isso significa que o sistema é possível e indeterminado (infinito de soluções). Para descrever todas, a gente escolhe dois parâmetros livres, por exemplo:
z = 2 + 3w = 2 +3s
Daí:

Resposta

O sistema é possível e indeterminado, com solução geral
(x,y,z,w) =l(-5 - 3t - 2s,;t,;2 + 3s,;sr), t,sin R

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