Determine o polinômio de Newton com base nos dados a seguir, e utilize-o para determinar y em x=2,5.
x 1 2,5 2 3
y 1 7 5 8

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Determinar o polinômio de Newton que interpola os pontos
(1,1),;(2.5,7),;(2,5),;(3,8)
e depois usar esse polinômio para achar em .
Conteúdo: Interpolação polinomial por diferenças divididas (Newton).
O que vamos precisar:
  • Montar tabela de diferenças divididas.
  • Extrair os coeficientes do polinômio de Newton.
  • Avaliar o polinômio em .

Passo 2

Primeiro, rotula os pontos como
x0=1,;y0=1; x1=2.5,;y1=7; x2=2,;y2=5; x3=3,;y3=8
A ideia é calcular as diferenças divididas de 1.ª, 2.ª e 3.ª ordem.

Passo 3

Diferenças divididas de 1.ª ordem:
f[x0,x1]=y1-y0x1-x0 =7-12.5-1= 61.5=4,
f[x1,x2]=5-72-2.5 =-2-0.5=4,
f[x2,x3]=8-53-2 =31=3

Passo 4

Diferenças divididas de 2.ª ordem:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =4-42-1=0,
f[x1,x2,x3] =f[x2,x3]-f[x1,x2]x3-x1 =3-43-2.5=-10.5=-2

Passo 5

Diferença dividida de 3.ª ordem:
f[x0,x1,x2,x3] =f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]x3-x0 =-2-03-1=-1

Passo 6

Agora monta o polinômio de Newton na forma
P(x)=f[x0] +f[x0,x1](x-x0) +f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)
Substituindo os valores:
P(x) =1 ;+;4,(x-1) ;+;0,(x-1)(x-2.5) ;-;1,(x-1)(x-2.5)(x-2)

Passo 7

Pra achar P(2.5) =1 +4,(2.5-1) +0cdotldots -1,(2.5-1)(2.5-2.5)(2.5-2) =1+4cdot1.5+0-1cdot1.5cdot0cdot0.5 =1+6=7 , basta substituir :

Resposta

O polinômio de Newton é
P(x)=1+4(x-1)- (x-1)(x-2.5)(x-2)
e nele .

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