A economia de um carro (
) varia com sua velocidade. Em um experimento, são feitas as cinco medições a seguir. Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos pontos.
Velocidade (km/h) | 16 | 40 | 64 | 88 | 112 |
---|---|---|---|---|---|
Economia (km/litro) | 4,2 | 9,2 | 10 | 10,7 | 8,6 |
Use o polinômio de Lagrange obtido anteriormente para calcular a economia de combustível a
e a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é de interpolação polinomial pelo método de Lagrange. A gente tem cinco medições de economia (em km/l) para cinco velocidades diferentes (em km/h), e precisa:
- Montar o polinômio de 4ª ordem
que passe por todos os pontos - Usá-lo para estimar a economia a
km/h e a km/h
Para isso, vamos precisar saber o que é o polinômio de Lagrange e como construir cada base
, depois somar tudo.
Passo 2
Teoria do polinômio de Lagrange
Seja um conjunto de pontos . O polinômio interpolador de grau até 4 é
Seja um conjunto de pontos
onde cada função base
é
Na prática, para cada
você pega todos os
(com
), monta um produto de
no numerador e
no denominador. No fim,
se
e
, garantindo que
.
Passo 3
Montagem do polinômio em forma de Lagrange
Temos os pontos
Temos os pontos
Logo
com, por exemplo,
e de modo análogo para
.
Se quiser, dá para escrever todas as cinco frações, mas o importante é que agora temos
na forma certa para qualquer
.
Passo 4
Cálculo de
e
Basta substituir e
em cada
e somar:
Basta substituir
- Para
a conta dá aproximadamente
- Para
encontramos
Resposta
Economia estimada:
• A 100 km/h → aproximadamente 10,43 km/l
• A 105 km/h → aproximadamente 9,93 km/l
• A 100 km/h → aproximadamente 10,43 km/l
• A 105 km/h → aproximadamente 9,93 km/l