A economia de um carro ( km / litro ) varia com sua velocidade. Em um experimento, são feitas as cinco medições a seguir. Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos pontos.
Velocidade (km/h) 16 40 64 88 112
Economia (km/litro) 4,2 9,2 10 10,7 8,6
Use o polinômio de Lagrange obtido anteriormente para calcular a economia de combustível a 100 km / h e a 105 km / h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é de interpolação polinomial pelo método de Lagrange. A gente tem cinco medições de economia (em km/l) para cinco velocidades diferentes (em km/h), e precisa:
  1. Montar o polinômio de 4ª ordem que passe por todos os pontos
  2. Usá-lo para estimar a economia a km/h e a km/h
Para isso, vamos precisar saber o que é o polinômio de Lagrange e como construir cada base , depois somar tudo.

Passo 2

Teoria do polinômio de Lagrange
Seja um conjunto de pontos P4(x) ;=;sumi=1^5yi,elli(x), . O polinômio interpolador de grau até 4 é
elli(x) =prodsubstackj=1jneq i^5 x - xj,xi - xj,
onde cada função base é
Na prática, para cada você pega todos os (com ), monta um produto de no numerador e no denominador. No fim, se e , garantindo que .

Passo 3

Montagem do polinômio em forma de Lagrange
Temos os pontos
(x1,y1)=(16,4.2),; (x2,y2)=(40,9.2),; (x3,y3)=(64,10),; (x4,y4)=(88,10.7),; (x5,y5)=(112,8.6)
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P4(x) =4.2,ell1(x) +9.2,ell2(x) +10,ell3(x) +10.7,ell4(x) +8.6,ell5(x),
com, por exemplo,
ell1(x) =(x-40)(x-64)(x-88)(x-112) (16-40)(16-64)(16-88)(16-112),
e de modo análogo para .
Se quiser, dá para escrever todas as cinco frações, mas o importante é que agora temos na forma certa para qualquer .

Passo 4

Cálculo de ell1(100)approx -0.03906,; ell2(100)approx 0.21875,; ell3(100)approx -0.54688,; ell4(100)approx 1.09375,; ell5(100)approx 0.27344 e P4(100) approx4.2(-0.03906)+9.2(0.21875)+10(-0.54688) +10.7(1.09375)+8.6(0.27344) approx10.43;km/l
Basta substituir ell1(105)approx -0.03980,; ell2(105)approx 0.21828,; ell3(105)approx -0.51863,; ell4(105)approx 0.83419,; ell5(105)approx 0.50613 e P4(105) approx4.2(-0.03980)+9.2(0.21828)+10(-0.51863) +10.7(0.83419)+8.6(0.50613) approx9.93;km/l em cada e somar:
  1. Para a conta dá aproximadamente
  1. Para encontramos

Resposta

Economia estimada:
• A 100 km/h → aproximadamente 10,43 km/l
• A 105 km/h → aproximadamente 9,93 km/l

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