Classifique as sentenças a seguir como verdadeiras ou falsas, justificando suas respostas:
Na aritmética de ponto flutuante F(2,2,-1,2), os números 0,75 e 0,84 são considerados como 0,8 .

Passo 1

O enunciado dá um sistema de ponto flutuante F(2,2,-1,2) e afirma: "os números 0,75 e 0,84 são considerados como 0,8".
Vou verificar se isso é verdade. Informações dadas:
  • base \beta=2;
  • precisão t=2 dígitos na mantissa (contando o dígito líder);
  • expoente mínimo L=-1 e máximo U=2.
    A pergunta é: na aritmética descrita, ambos os números 0,75 e 0,84 são representados/arreduzidos para 0,8?

Passo 2

Explicação do formato normalizado e quais números são representáveis:
  • Em base 2 e normalizado, um número (positivo) tem a forma (d_0.d_1\dots d_{t-1})_2\times 2^{e} com d_0=1 e cada d_i\in\{0,1\}.
  • Como t=2, a mantissa tem exatamente dois dígitos: d_0.d_1. Logo as mantissas possíveis são 1.0_2 e 1.1_2.
  • Para expoente e=-1 (que é o expoente que coloca o número no intervalo [0{,}5,1)), essas mantissas representam: 1.0_2\times 2^{-1}=0{,}5,\qquad 1.1_2\times 2^{-1}=0{,}75.
Portanto, no intervalo [0{,}5,1) os únicos números representáveis com t=2 são 0{,}5 e 0{,}75.

Passo 3

Tratar 0{,}75:
  • Em binário 0{,}75=\tfrac{3}{4}=0{,}11_2. Em forma normalizada isso é 1.1_2\times 2^{-1}.
  • Como vimos, 1.1_2\times 2^{-1} é exatamente representável em F(2,2,-1,2). Portanto 0{,}75 é armazenado exatamente como 0{,}75, não como 0{,}8.

Passo 4

Tratar 0{,}84:
  • 0{,}84 não tem representação finita em base 2, logo não é representável exatamente. Então é necessário arredondar para o representável mais próximo (pressupondo arredondamento para o mais próximo).
  • No intervalo relevante [0{,}5,1) as opções são 0{,}5 e 0{,}75. Calculo as distâncias: |0{,}84-0{,}75|=0{,}09,\qquad |0{,}84-0{,}5|=0{,}34.
  • Como 0{,}75 é muito mais próxima de 0{,}84 do que 0{,}5, o arredondamento para o mais próximo dá 0{,}75. Logo 0{,}84 será representado por 0{,}75, não por 0{,}8.

Passo 5

Observação sobre 0{,}8:
  • 0{,}8=\tfrac{4}{5} também não é representável exatamente em base 2. A distância entre 0{,}8 e o representável mais próximo 0{,}75 é |0{,}8-0{,}75|=0{,}05,então mesmo 0{,}8 arredondaria para 0{,}75 (no esquema de arredondamento para o mais próximo).
  • Assim, afirmar que 0{,}75 e 0{,}84 são considerados como 0{,}8 está incorreto em dois sentidos: 0{,}75 é exato e não vira 0{,}8; 0{,}84 arredonda para 0{,}75, não para 0{,}8.

Passo 6

Conclusão final: a afirmação do enunciado é falsa. Os valores que ficam realmente na máquina são:
  • 0{,}75 armazenado exatamente como 0{,}75;
  • 0{,}84 arredondado para 0{,}75.
    Portanto os dois não são considerados como 0{,}8.

Resposta

Falso

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