(COLÉGIO NAVAL) Seja
. O resto
da divisão de
por
. Determine o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede o valor de
, onde
é o resto da divisão de
por
Informações relevantes que temos:
- O divisor
tem grau , então o resto terá grau menor que (ou seja, ). - Precisamos encontrar somente o valor numérico
(não é necessário apresentar completamente, embora isso ajude). - Não há nenhuma imagem ou dado extra.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática). Quando dividimos um polinômio por
podemos trabalhar mod
. Isso significa que, na aritmética dos restos, podemos substituir sempre que quisermos
Explicando por que isso vale: se
é o resto, então
é múltiplo de
, logo para qualquer raiz
de
vale
. Em particular, a relação
é válida na álgebra dos polinômios módulo
. Uma consequência prática é que podemos reduzir potências altas de
usando
.
Passo 3
Consequência útil: a partir de
obtemos, ao elevar ao quadrado, que
Isso significa que potências de
se repetem com período
: para qualquer inteiro
vale
(mod
). Portanto, para reduzir uma potência
basta conhecer
.
Passo 4
Vamos reduzir
módulo
. Calcule o resto da divisão de
por
:
logo
Pelo período
das potências, temos
E como
, segue que
Passo 5
Agora reduzimos
módulo
. Substituindo a equivalência encontrada:
Portanto
Simplificando os termos constantes:
logo o resto (polinômio de grau <4) é
Observação didática: foi possível obter
diretamente porque todas as potências mais altas foram reduzidas usando
e
.
Passo 6
Finalmente calcule
. Substituindo
em
: