(COLÉGIO NAVAL) Seja P(x)=2 x^{2020}+2020 x+2021. O resto R(x) da divisão de P(x) por d(x)=x^{4}+1. Determine o valor de R(-1).

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=2x^{2020}+2020x+2021
e pede o valor de R(-1), onde R(x) é o resto da divisão de P(x) por
d(x)=x^{4}+1.
Informações relevantes que temos:
  • O divisor d(x) tem grau 4, então o resto R(x) terá grau menor que 4 (ou seja, \deg R<4).
  • Precisamos encontrar somente o valor numérico R(-1) (não é necessário apresentar R(x) completamente, embora isso ajude).
  • Não há nenhuma imagem ou dado extra.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática). Quando dividimos um polinômio por x^{4}+1 podemos trabalhar mod \,x^{4}+1. Isso significa que, na aritmética dos restos, podemos substituir sempre que quisermos
x^{4}\equiv -1 \pmod{x^{4}+1}.
Explicando por que isso vale: se R(x) é o resto, então P(x)-R(x) é múltiplo de x^{4}+1, logo para qualquer raiz \alpha de x^{4}+1 vale P(\alpha)=R(\alpha). Em particular, a relação x^{4}=-1 é válida na álgebra dos polinômios módulo x^{4}+1. Uma consequência prática é que podemos reduzir potências altas de x usando x^{4}=-1.

Passo 3

Consequência útil: a partir de x^{4}\equiv -1 obtemos, ao elevar ao quadrado, que
x^{8}\equiv 1 \pmod{x^{4}+1}.
Isso significa que potências de x se repetem com período 8: para qualquer inteiro k vale x^{k+8}\equiv x^{k} (mod x^{4}+1). Portanto, para reduzir uma potência x^{n} basta conhecer n \bmod 8.

Passo 4

Vamos reduzir x^{2020} módulo x^{4}+1. Calcule o resto da divisão de 2020 por 8:
2020 = 8\cdot 252 + 4,
logo
2020 \equiv 4 \pmod{8}.
Pelo período 8 das potências, temos
x^{2020}\equiv x^{4} \pmod{x^{4}+1}.
E como x^{4}\equiv -1, segue que
x^{2020}\equiv -1 \pmod{x^{4}+1}.

Passo 5

Agora reduzimos P(x) módulo x^{4}+1. Substituindo a equivalência encontrada:
2x^{2020}\equiv 2(-1) = -2 \pmod{x^{4}+1}.
Portanto
P(x)=2x^{2020}+2020x+2021 \equiv -2 + 2020x + 2021 \pmod{x^{4}+1}.
Simplificando os termos constantes:
-2 + 2021 = 2019,
logo o resto (polinômio de grau <4) é
R(x)=2020x+2019.
Observação didática: foi possível obter R(x) diretamente porque todas as potências mais altas foram reduzidas usando x^{4}=-1 e x^{8}=1.

Passo 6

Finalmente calcule R(-1). Substituindo x=-1 em R(x)=2020x+2019:
R(-1)=2020\cdot(-1)+2019 = -2020+2019 = -1.

Resposta

-1

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