Qual o valor da integral
, sendo C o circulo centrado na origem de raio 2 , percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
é o círculo centrado na origem de raio
, percorrido no sentido anti-horário.
Informações dadas:
- A curva
é o círculo de centro e raio . - O sentido de percurso é anti-horário (sentido positivo).
- A integral é a integral de linha da forma diferencial
com e .
O que se pede:
- Calcular o valor numérico da integral fechada indicada.
Passo 2
Vamos transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região interior do círculo usando o Teorema de Green. Primeiro explico o teorema de forma simples:
Teorema de Green (forma plana, caso usual): se
é uma região plana com fronteira simples e orientada positivamente (anti-horário) e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Aqui
é a fronteira orientada positivamente (no nosso caso
).
No problema temos
e
. A orientação anti-horário significa que podemos aplicar a fórmula diretamente sem mudar sinal.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que entram no integrando de Green:
Portanto o integrando é
Passo 4
Aplicando Green, a integral de linha vira a integral dupla sobre o disco
de raio
:
Para calcular essa integral é conveniente usar coordenadas polares. Lembrete rápido sobre coordenadas polares:
-
, . -
. - O elemento de área é
(o fator é o jacobiano da mudança de variáveis).
A região
é o disco de raio
, então
varia de
a
e
varia de
a
.
Passo 5
Substituindo em coordenadas polares:
Calcule a integral em
:
Agora a integral em
: