Qual o valor da integral \oint_{C} x^{2} y d x-x y^{2} d y, sendo C o circulo centrado na origem de raio 2 , percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\oint_{C} x^{2}y\,dx - x y^{2}\,dy,
onde C é o círculo centrado na origem de raio 2, percorrido no sentido anti-horário.
Informações dadas:
  • A curva C é o círculo de centro (0,0) e raio 2.
  • O sentido de percurso é anti-horário (sentido positivo).
  • A integral é a integral de linha da forma diferencial P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=x^{2}y e Q(x,y)=-x y^{2}.
O que se pede:
  • Calcular o valor numérico da integral fechada indicada.

Passo 2

Vamos transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região interior do círculo usando o Teorema de Green. Primeiro explico o teorema de forma simples:
Teorema de Green (forma plana, caso usual): se D é uma região plana com fronteira simples e orientada positivamente (anti-horário) e P(x,y),Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui \partial D é a fronteira orientada positivamente (no nosso caso \partial D = C).
No problema temos P(x,y)=x^{2}y e Q(x,y)=-x y^{2}. A orientação anti-horário significa que podemos aplicar a fórmula diretamente sem mudar sinal.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que entram no integrando de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x y^{2}) = -y^{2},
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2} y) = x^{2}.
Portanto o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -y^{2} - x^{2} = -(x^{2}+y^{2}).

Passo 4

Aplicando Green, a integral de linha vira a integral dupla sobre o disco D de raio 2:
\oint_{C} x^{2}y\,dx - x y^{2}\,dy = \iint_{D} -(x^{2}+y^{2})\,dA.
Para calcular essa integral é conveniente usar coordenadas polares. Lembrete rápido sobre coordenadas polares:
  • x = r\cos\theta, y = r\sin\theta.
  • x^{2}+y^{2} = r^{2}.
  • O elemento de área é dA = r\,dr\,d\theta (o fator r é o jacobiano da mudança de variáveis).
A região D é o disco de raio 2, então r varia de 0 a 2 e \theta varia de 0 a 2\pi.

Passo 5

Substituindo em coordenadas polares:
\iint_{D} -(x^{2}+y^{2})\,dA = -\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = -\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4} = \frac{16}{4} = 4.
Agora a integral em \theta:
- \int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = -4\left[\theta\right]_{0}^{2\pi} = -4\cdot 2\pi = -8\pi.

Resposta

-8\pi

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