Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede que se enumerem, localizem e separem as suas raízes.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O polinômio é de grau
, com coeficientes inteiros. - Deve-se encontrar todas as raízes (reais e complexas), indicar onde elas estão localizadas e dar intervalos que as separem (isolem).
Passo 2
Estratégia elementar (ferramentas que vamos usar — explicadas de forma simples).
- Teorema das raízes racionais: se
tem uma raiz racional na forma com , então divide o termo independente e divide o coeficiente líder. Aqui o termo independente é e o coeficiente líder é , então as possíveis raízes racionais são os divisores de , isto é . - Teste direto: avaliar
nesses candidatos; se então é fator. - Divisão de polinômios (ou método de Ruffini/sintético): usada para reduzir o grau quando encontramos uma raiz racional.
- Fórmula quadrática/ discriminante: usada para resolver quadráticas restantes e identificar raízes complexas.
- Teorema do valor intermediário (TVI): se
e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz real em . Usaremos isso para isolar as raízes reais em intervalos.
Passo 3
Aplicando o Teorema das raízes racionais, testamos os candidatos mais simples. Avaliando em
:
Calcule passo a passo:
Logo
, portanto
é raiz e
é fator.
Passo 4
Dividimos
por
usando o método sintético (Ruffini). Coeficientes de
:
. Aplicando
:
- Trago
. - Multiplico
, somo ao próximo coeficiente . - Multiplico
, somo a → . - Multiplico
, somo a → . - Multiplico
, somo a → . - Multiplico
, somo a → (resto).
O quociente é o polinômio de graucom coeficientes , isto é
Passo 5
Testamos outro candidato:
. Avaliando no polinômio original (ou em
):
Calcule:
Logo
, portanto
é fator.
Passo 6
Dividimos
por
. Método sintético com
:
Coeficientes .
Coeficientes
- Trago
. -
; . -
; . -
; . -
; (resto).
Quociente é.
Passo 7
Testamos
no polinômio original (ou no quociente de grau
). Avaliação:
Calcule:
Soma por etapas:
Portanto
, logo
é fator.
Passo 8
Dividimos o cúbico
por
(sintético com
):
Coeficientes .
Coeficientes
- Trago
. -
; . -
; . -
; (resto).
Quociente é.
Passo 9
Agora temos a fatoração completa:
Explicando: encontramos três raízes reais racionais
e sobrou uma quadrática
que dará as outras duas raízes (possivelmente complexas).
Passo 10
Análise da quadrática
. Calculamos o discriminante:
Como
, a quadrática não tem raízes reais; tem duas raízes complexas conjugadas dadas pela fórmula quadrática:
Passo 11
Multiplicidades: cada fator linear
,
,
aparece uma única vez, então as raízes reais
são simples (multiplicidade
). As raízes complexas
também são simples.
Passo 12
Isolamento / separação das raízes reais (usando sinais e TVI). Escolhemos intervalos pequenos centrados nas raízes inteiras para isolá-las:
-
Para
: calculemos e para mostrar mudança de sinal. Comoe , pelo TVI existe pelo menos uma raiz em . Como já sabemos que a única raiz real nesse intervalo é , podemos escolher um intervalo menor que isole , por exemplo . -
Para
: calculemos e . Há mudança de sinal em . Isolamento conveniente: contém apenas a raiz . -
Para
: calculemos e . Há mudança de sinal em . Isolamento conveniente: contém apenas a raiz .
Observação: a fatoração garante unicidade das raízes dentro desses intervalos, pois cada fator linear corresponde a uma única raiz.