Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios:
p(x)=x^{5}+x^{4}-8 x^{3}-16 x^{2}+7 x+15

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{5}+x^{4}-8x^{3}-16x^{2}+7x+15
e pede que se enumerem, localizem e separem as suas raízes.
Informações relevantes fornecidas:
  • O polinômio é de grau 5, com coeficientes inteiros.
  • Deve-se encontrar todas as raízes (reais e complexas), indicar onde elas estão localizadas e dar intervalos que as separem (isolem).

Passo 2

Estratégia elementar (ferramentas que vamos usar — explicadas de forma simples).
  • Teorema das raízes racionais: se p(x) tem uma raiz racional na forma \dfrac{a}{b} com \gcd(a,b)=1, então a divide o termo independente e b divide o coeficiente líder. Aqui o termo independente é 15 e o coeficiente líder é 1, então as possíveis raízes racionais são os divisores de 15, isto é \pm1,\pm3,\pm5,\pm15.
  • Teste direto: avaliar p(x) nesses candidatos; se p(r)=0 então x-r é fator.
  • Divisão de polinômios (ou método de Ruffini/sintético): usada para reduzir o grau quando encontramos uma raiz racional.
  • Fórmula quadrática/ discriminante: usada para resolver quadráticas restantes e identificar raízes complexas.
  • Teorema do valor intermediário (TVI): se p(a) e p(b) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz real em (a,b). Usaremos isso para isolar as raízes reais em intervalos.

Passo 3

Aplicando o Teorema das raízes racionais, testamos os candidatos mais simples. Avaliando em x=1:
p(1)=1^{5}+1^{4}-8\cdot1^{3}-16\cdot1^{2}+7\cdot1+15.
Calcule passo a passo:
1+1-8-16+7+15=(1+1)=2,\quad2-8=-6,\quad-6-16=-22,\quad-22+7=-15,\quad-15+15=0.
Logo p(1)=0, portanto x=1 é raiz e (x-1) é fator.

Passo 4

Dividimos p(x) por (x-1) usando o método sintético (Ruffini). Coeficientes de p: 1,\;1,\;-8,\;-16,\;7,\;15. Aplicando 1:
  • Trago 1.
  • Multiplico 1\cdot1=1, somo ao próximo coeficiente 1+1=2.
  • Multiplico 2\cdot1=2, somo a -8 -6.
  • Multiplico -6\cdot1=-6, somo a -16 -22.
  • Multiplico -22\cdot1=-22, somo a 7 -15.
  • Multiplico -15\cdot1=-15, somo a 15 0 (resto).
    O quociente é o polinômio de grau 4 com coeficientes 1,2,-6,-22,-15, isto é
q_4(x)=x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-22x-15.

Passo 5

Testamos outro candidato: x=-1. Avaliando no polinômio original (ou em q_4):
p(-1) = (-1)^{5}+(-1)^{4}-8(-1)^{3}-16(-1)^{2}+7(-1)+15.
Calcule:
-1+1+8-16-7+15 = (-1+1)=0,\quad0+8=8,\quad8-16=-8,\quad-8-7=-15,\quad-15+15=0.
Logo p(-1)=0, portanto x+1 é fator.

Passo 6

Dividimos q_4(x)=x^{4}+2x^{3}-6x^{2}-22x-15 por (x+1). Método sintético com -1:
Coeficientes 1,2,-6,-22,-15.
  • Trago 1.
  • 1\cdot(-1)=-1; 2+(-1)=1.
  • 1\cdot(-1)=-1; -6+(-1)=-7.
  • -7\cdot(-1)=7; -22+7=-15.
  • -15\cdot(-1)=15; -15+15=0 (resto).
    Quociente é x^{3}+x^{2}-7x-15.

Passo 7

Testamos x=3 no polinômio original (ou no quociente de grau 3). Avaliação:
p(3)=3^{5}+3^{4}-8\cdot3^{3}-16\cdot3^{2}+7\cdot3+15.
Calcule:
243+81-216-144+21+15.
Soma por etapas:
243+81=324,\quad324-216=108,\quad108-144=-36,\quad-36+21=-15,\quad-15+15=0.
Portanto p(3)=0, logo x-3 é fator.

Passo 8

Dividimos o cúbico x^{3}+x^{2}-7x-15 por (x-3) (sintético com 3):
Coeficientes 1,1,-7,-15.
  • Trago 1.
  • 1\cdot3=3; 1+3=4.
  • 4\cdot3=12; -7+12=5.
  • 5\cdot3=15; -15+15=0 (resto).
    Quociente é x^{2}+4x+5.

Passo 9

Agora temos a fatoração completa:
p(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x^{2}+4x+5).
Explicando: encontramos três raízes reais racionais x=1,\,-1,\,3 e sobrou uma quadrática x^{2}+4x+5 que dará as outras duas raízes (possivelmente complexas).

Passo 10

Análise da quadrática x^{2}+4x+5. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot1\cdot5 = 16-20 = -4.
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais; tem duas raízes complexas conjugadas dadas pela fórmula quadrática:
x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2} = \frac{-4\pm 2i}{2} = -2\pm i.

Passo 11

Multiplicidades: cada fator linear (x-1), (x+1), (x-3) aparece uma única vez, então as raízes reais 1,-1,3 são simples (multiplicidade 1). As raízes complexas -2\pm i também são simples.

Passo 12

Isolamento / separação das raízes reais (usando sinais e TVI). Escolhemos intervalos pequenos centrados nas raízes inteiras para isolá-las:
  • Para x=-1: calculemos p(-2) e p(0) para mostrar mudança de sinal.
    p(-2)=-32+16+64-64-14+15=-15<0,\qquad p(0)=15>0.
    Como p(-2)<0 e p(0)>0, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em (-2,0). Como já sabemos que a única raiz real nesse intervalo é -1, podemos escolher um intervalo menor que isole -1, por exemplo (-1{,}5,-0{,}5).
  • Para x=1: calculemos p(0)=15>0 e p(2)=-51<0. Há mudança de sinal em (0,2). Isolamento conveniente: (0{,}5,1{,}5) contém apenas a raiz 1.
  • Para x=3: calculemos p(2)=-51<0 e p(4)=555>0. Há mudança de sinal em (2,4). Isolamento conveniente: (2{,}5,3{,}5) contém apenas a raiz 3.
Observação: a fatoração garante unicidade das raízes dentro desses intervalos, pois cada fator linear corresponde a uma única raiz.

Resposta

p(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x^{2}+4x+5)
\text{Raízes reais: }x=1\\ \text{em}\\ (0{,}5,\,1{,}5),\quad x=-1\\ \text{em}\\ (-1{,}5,\,-0{,}5),\quad x=3\\ \text{em}\\ (2{,}5,\,3{,}5)í
\text{Raízes complexas: }x=-2+i,\quad x=-2-ií

Exercícios relacionados