Enumere, localize e separe as raízes dos seguintes polinômios: p(x)=x^{4}-14 x^{2}+24 x-10
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{4}-14x^{2}+24x-10
e pede que eu enumere, localize e separe as raízes. Ou seja:
Encontrar todas as raízes (reais ou complexas) de p(x).
Indicar onde cada raiz está (fornecer aproximações e intervalos que isolam cada raiz).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Grau do polinômio: 4 (logo há exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos, contando multiplicidade).
Coeficiente do termo x^{3} é zero (o que simplifica algumas técnicas de fatoração).
Nenhuma outra figura ou dado adicional foi fornecido.
Passo 2
Plano de ataque (sem detalhes técnicos ainda): é muito conveniente tentar fatorar p(x) em dois quadráticos com coeficientes reais porque o coeficiente de x^{3} é zero. Vou assumir uma fatoração do tipo
p(x)=(x^{2}+a x+b)(x^{2}-a x+c),
onde a,b,c são números reais a determinar. Essa escolha força o coeficiente de x^{3} a ser zero (pois os termos em x^{3} se cancelam por simetria), e leva a um sistema de equações simples para a,b,c. Em seguida vou reduzir o problema a uma cúbica resolvente para y=a^{2}, resolver essa cúbica (usando o método do caso com três raízes reais) e finalmente obter as quadráticas e suas raízes.
Antes de calcular, explico por que isso funciona e como obter a cúbica resolvente de forma didática.
Passo 3
Derivação das equações para [a,b,c).
Multiplicando (x^{2}+a x+b)(x^{2}-a x+c) obtemos
x^{4}+(b+c-a^{2})x^{2}+a(c-b)x+bc.
Comparando com p(x)=x^{4}-14x^{2}+24x-10 igualando coeficientes, obtemos o sistema
Como bc=-10, substituindo esses valores e simplificando chega-se (após multiplicar por a^{2}) à cúbica em y=a^{2}
y^{3}-28y^{2}+236y-576=0.
Explicação breve da forma: essa cúbica é a chamada cúbica resolvente associada ao quartico sem termo cúbico; suas raízes positivas correspondem aos valores possíveis de a^{2} que permitem a fatoração em quadráticos reais.]
Passo 4
Resolver a cúbica resolvente
y^{3}-28y^{2}+236y-576=0.
Passo intermédio (depressão da cúbica). Use a substituição
y=z+\frac{28}{3}
para eliminar o termo quadrático; isso dá a cúbica deprimida
z^{3}+Pz+Q=0,
com
P=-\frac{76}{3},\qquad Q=\frac{16}{27}.
Cálculo do discriminante da cúbica (para decidir a forma da solução):
Substituindo P e Q obtemos \Delta<0. Quando \Delta<0 a cúbica deprimida tem três raízes reais; nesse caso é conveniente usar a fórmula trigonométrica (método de Viète / Cardano em forma trigonométrica).
Todas são positivas (o que garante a^{2}=y_{i}>0 e, portanto, a=\pm\sqrt{y_{i}} reais). Cada uma dessas y fornece uma forma de fatorar o quartico; basta escolher uma delas para obter uma fatoração em dois quadráticos reais (qualquer uma funciona; todas dão as mesmas quatro raízes no final).
Passo 5
Escolher y_{3} (o menor) por conveniência: y_{3}\approx 4{,}292462. Então
Isolamento / separação das raízes (intervalos pequenos que contêm cada uma, úteis para provar unicidade de cada raiz em seu intervalo):
Raiz x\approx -4{,}4593005 está isolada no intervalo \big(-4{,}460,\,-4{,}459\big).
Raiz x\approx 0{,}6705305 está isolada no intervalo \big(0{,}670,\;0{,}671\big).
Raiz x\approx 1{,}4010435 está isolada no intervalo \big(1{,}401,\;1{,}402\big).
Raiz x\approx 2{,}3877265 está isolada no intervalo \big(2{,}387,\;2{,}388\big).
Comentário encorajador: deu trabalho algébrico, mas o truque é sempre tentar reduzir quarticos sem termo cúbico a duas quadráticas simétricas e usar a cúbica resolvente. Quando a cúbica tiver discriminante negativo, usa-se a forma trigonométrica (muito estável numericamente) para obter as raízes reais. As aproximações acima têm precisão suficiente para uso em prova prática (ou para verificar com substituição direta que p(x) fica muito próximo de zero nesses valores).