O comando help fornece informações sobre os comandos que estão embutidos no Octave. Por exemplo, ao digitar help det no prompt de comando e, em seguida, pressionar enter, o Octave fornecerá as informações sobre o comando det.
Verifique os seguintes comandos embutidos do Octave para uma dada matriz quadrada: det, rank, inv, eig, trace e norm.
Verifique os seguintes comandos embutidos do Octave para uma dada matriz quadrada: det, rank, inv, eig, trace e norm.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente “verificar” no Octave seis coisas sobre uma matriz quadrada: determinante (det), posto (rank), inversa (inv), autovalores (eig), traço (trace) e norma (norm). Isso cai em Álgebra Linear e usamos os comandos embutidos no Octave pra calcular cada propriedade. Pra deixar a explicação mais concreta, vamos trabalhar com a matriz
e mostrar passo a passo como calcular cada item.
Passo 2
Determinate (det): é um número associado à matriz que, entre outras coisas, diz se ela é invertível ou não. No caso de 2×2 temos a fórmula
Aplicando em
:
No Octave, basta digitar
>> det(A)
ans = -2
Passo 3
Rank (posto): é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Se
, o posto de uma 2×2 é 2. Aqui, como
, todas as linhas são independentes, então
No Octave:
>> rank(A)
ans = 2
Passo 4
Inversa (inv): quando
, existe
e ela satisfaz
. Para 2×2 a fórmula é
Substituindo:
$$
A^{-1} = \frac1{-2}
$$
No Octave:
No Octave:
>> inv(A) ans = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000
Passo 5
Autovalores (eig): são os valores
que satisfazem
. A gente monta:
Resolvendo a equação de segundo grau:
No Octave:
>> eig(A)
ans =
5.3723
-0.3723
Passo 6
Traço (trace): é a soma dos elementos da diagonal principal. Aqui é fácil:
No Octave:
>> trace(A)
ans = 5
Passo 7
Norma (norm): por padrão no Octave a função (também chamada de norma espectral). Computar à mão envolve decomposição SVD, mas o Octave faz assim:
norm(A)
dá a norma-2, que é o maior valor singular de
>> norm(A) ans = 5.4641
Resposta
det(A) = −2
rank(A) = 2
inv(A) =
eig(A) =
trace(A) = 5
norm(A) ≈ 5.4641
rank(A) = 2
inv(A) =
eig(A) =
trace(A) = 5
norm(A) ≈ 5.4641