Para combater um vírus que infectou um grupo de indivíduos vai ser administrado um composto químico sintetizado com base em duas substâncias elementares x1 e x2. Sabe-se que se forem administrados a alpha miligramas de composto a cada indivíduo, a concentração ( mg / litro ) de cada uma das substâncias elementares na circulação sanguínea é dada implicitamente (para alpha in[0,5] ) pelo sistema de equações:
l 16 x1-cos (alpha(x2-2 x1))=0 16 x2+0,75 sen(alpha(-x2-3 x1))=0
Para alpha=1, determine x1 e x2 usando um método iterativo mais adequado. Use a aproximação inicial x^(0)=[0,1 0,01]^top e termine o processo iterativo considerando o erro absoluto menor que epsilon=0,05.

Passo 1

O enunciado pede para, com α=1, achar as concentrações 16,x1-cosl(x2-2x1r)=0,[6pt] 16,x2+0.75,sinl(-x2-3x1r)=0, e x^(0) = 0.1[3pt]0.01, que satisfazem o sistema não-linear
x1 = g1(x1,x2), x2 = g2(x1,x2);
usando um método iterativo (o mais “de boa”) e começando de
parando quando a variação absoluta entre duas iterações for menor que .
Conteúdo: resolução de sistemas não-lineares pelo método do ponto-fixo. Vamos precisar:
  1. reescrever o sistema como
  1. iterar até .

Passo 2

Primeiro a gente isola cada 16,x1 = cos(x2-2x1) Longrightarrow x1 = 116cos!l(x2-2x1r) . Da primeira equação:
16,x2 + 0.75,sin(-x2-3x1)=0 ;Longrightarrow; 16,x2 = 0.75,sin(x2+3x1) ;Longrightarrow; x2 = 0.7516,sin!l(x2+3x1r) = 364,sin!l(x2+3x1r)
Da segunda:
g1(x1,x2) = 116cos(x2-2x1), g2(x1,x2) = 364sin(x2+3x1)
Pronto, nosso “mapa” é

Passo 3

Agora é só iterar. Chamamos x1^(k+1) = g1l(x1^(k),x2^(k)r), x2^(k+1) = g2l(x1^(k),x2^(k)r) e definimos
|x1^(1)-x1^(0)|approx|0.06137-0.1|=0.03863<0.05, |x2^(1)-x2^(0)|approx|0.01433-0.01|=0.00433<0.05
Começando em :
Iteração 1:
  • argumento do cosseno: .

    .
  • argumento do seno: .

    .
Diferenças absolutas:
Como ambas variações são menores que , já podemos parar.

Resposta

.

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