Dado o sistema não linear:
l 3 x1-cos (x2 x3)=12 4 x1^2-625 x2^2+2 x2=1 e^-x1 x2+20 x3=-10 pi-33
Determine o sistema linear que deve ser resolvido em cada iteração do Método de Newton para encontrar a solução deste sistema.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede que a gente aplique o Método de Newton num sistema não‐linear de três equações e três incógnitas:
3x1-cos(x2x3)=tfrac12,[6pt] 4x1^2-625x2^2+2x2=1,[6pt] e^-x1x2+20x3=-tfrac10pi-33
Conteúdo: Newton para sistemas, jacobiana, derivadas parciais (regra da cadeia).
O que precisamos:
  1. Escrever cada J(x^k),d=-F(x^k), de forma que o sistema seja .
  2. Calcular a matriz Jacobiana , ou seja, .
  3. Montar em cada iteração o sistema linear
onde é o “passo” que a gente soma a .

Passo 2

Primeiro, definimos
[
F(x)=
F(x)= f1(x) f2(x) f3(x) = 3x1-cos(x2x3)-tfrac12[4pt] 4x1^2-625x2^2+2x2-1[4pt] e^-x1x2+20x3+tfrac10pi-33 ,

d= d1d2d3 ,
]
e o vetor de correção

Passo 3

Agora dá pra achar a Jacobiana J(x)= 3 & sin(x2x3),x3 & sin(x2x3),x2[6pt] 8x1 & -1250x2+2 & 0[6pt] -,x2,e^-x1x2 & -,x1,e^-x1x2 & 20 . A regra da cadeia e derivada padrão nos dá:
  1. Para :
    /∂ =3,
    /∂ =\sin(x_2x_3)\cdot x_3,
    /∂ =\sin(x_2x_3)\cdot x_2.
  2. Para :
    /∂ =8x_1,
    /∂ =-1250x_2+2,
    /∂ =0.
  3. Para :
    /∂ =-x_2,e^{-x_1x_2},
    /∂ =-x_1,e^{-x_1x_2},
    /∂ =20.
Portanto

Passo 4

O Método de Newton pede que, em cada iteração Jl(x^kr);d ;=;-,Fl(x^kr), , a gente resolva
3 & sin(x^k2x^k3),x^k3 & sin(x^k2x^k3),x^k2[6pt] 8x^k1 & -1250x^k2+2 & 0[6pt] -,x^k2,e^-x^k1x^k2 & -,x^k1,e^-x^k1x^k2 & 20 d1d2d3 = - 3x^k1-cos(x^k2x^k3)-tfrac12[4pt] 4(x^k1)^2-625(x^k2)^2+2x^k2-1[4pt] e^-x^k1x^k2+20x^k3+tfrac10pi-33
isto é, explicitamente:
[

.
]

Resposta

Em cada iteração boxed 3 & sin(x^k2x^k3),x^k3 & sin(x^k2x^k3),x^k2[6pt] 8x^k1 & -1250x^k2+2 & 0[6pt] -,x^k2,e^-x^k1x^k2 & -,x^k1,e^-x^k1x^k2 & 20 d1d2d3 = - 3x^k1-cos(x^k2x^k3)-tfrac12[4pt] 4(x^k1)^2-625(x^k2)^2+2x^k2-1[4pt] e^-x^k1x^k2+20x^k3+tfrac10pi-33 do Método de Newton resolve‐se o sistema linear
[
\boxed{


.}
]
A solução dá o passo para atualizar .

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