A concentração de um poluente num lago depende do tempo
e é dado por:
Sabendo que:
e
. Utilize o método de Newton para determinar
e
. Considere para aproximação inicial o ponto
, realize uma iteração e apresente o erro relativo.
Passo 1
Então, o que a questão tá pedindo? A concentração do poluente num lago é
e a gente sabe que
Queremos achar os parâmetros
e
usando o método de Newton para sistemas não lineares, partindo de
,
fazer só UMA iteração e, ao final, calcular o erro relativo.
Conteúdo principal: método de Newton para sistemas de 2 equações e 2 incógnitas. Vamos precisar:
fazer só UMA iteração e, ao final, calcular o erro relativo.
Conteúdo principal: método de Newton para sistemas de 2 equações e 2 incógnitas. Vamos precisar:
- montar o sistema
, ; - calcular a Jacobiana (matriz das derivadas parciais);
- resolver um sistema linear para achar o “passo” de Newton e atualizar
; - por fim, medir o erro relativo na atualização.
Passo 2
Definindo as funções
o método de Newton em vetor é
onde
e
Aqui as derivadas são:
Passo 3
Agora, avalia tudo em
:
Calculemos os exponenciais:
Calculemos os exponenciais:
Então:
E a Jacobiana vira
Passo 4
Precisamos resolver
isto é
[
]
O determinante de
é
Pelas fórmulas de Cramer,
Passo 5
Atualizamos pelos passos de Newton:
Passo 6
O erro relativo em cada coordenada é
Resposta
Depois de uma iteração de Newton, obtemos
com erro relativo de aproximadamente