A concentração de um poluente num lago depende do tempo t e é dado por:
C(t)=70 e^beta t+20 e^omega t
Sabendo que: C(1)=27,5702 e C(2)=17,6567. Utilize o método de Newton para determinar beta e omega. Considere para aproximação inicial o ponto ll-1,9 & -0,15, realize uma iteração e apresente o erro relativo.

Passo 1

Então, o que a questão tá pedindo? A concentração do poluente num lago é
C(t)=70e^beta t+20e^omega t
e a gente sabe que
C(1)=27,5702, C(2)=17,6567
Queremos achar os parâmetros e usando o método de Newton para sistemas não lineares, partindo de
,
fazer só UMA iteração e, ao final, calcular o erro relativo.
Conteúdo principal: método de Newton para sistemas de 2 equações e 2 incógnitas. Vamos precisar:
  1. montar o sistema , ;
  2. calcular a Jacobiana (matriz das derivadas parciais);
  3. resolver um sistema linear para achar o “passo” de Newton e atualizar ;
  4. por fim, medir o erro relativo na atualização.

Passo 2

Definindo as funções
f1(beta,omega)=70e^betacdot1+20e^omegacdot1-27,5702, f2(beta,omega)=70e^betacdot2+20e^omegacdot2-17,6567,
o método de Newton em vetor é
xk+1=xk - J(xk)^-1,f(xk),
onde J(beta,omega)= partial f1partial beta&partial f1partial omega partial f2partial beta&partial f2partial omega e
partial f1partial beta=70e^beta, partial f1partial omega=20e^omega, partial f2partial beta=70cdot2,e^2beta, partial f2partial omega=20cdot2,e^2omega
Aqui as derivadas são:

Passo 3

Agora, avalia tudo em e^-1,9approx0,14957, e^-0,15approx0,86071,:
Calculemos os exponenciais:
e^2(-1,9)=e^-3,8approx0,02237, e^2(-0,15)=e^-0,3approx0,74082
f1(-1,9,-0,15)=70cdot0,14957+20cdot0,86071-27,5702 approx10,4699+17,2142-27,5702=0,1139,
Então:
f2(-1,9,-0,15)=70cdot0,02237+20cdot0,74082-17,6567 approx1,5659+14,8164-17,6567=-1,2744
J0= 70cdot0,14957 & 20cdot0,86071[6pt] 140cdot0,02237&40cdot0,74082 approx 10,4699 & 17,2142 3,1318 & 29,6328
E a Jacobiana vira

Passo 4

Precisamos resolver
J0;De
isto é
[
10,4699 & 17,2142 3,1318 & 29,6328 De
det J0=10,4699cdot29,6328 -17,2142cdot3,1318approx256,22

De.
]
O determinante de De é
Pelas fórmulas de Cramer,

Passo 5

Atualizamos pelos passos de Newton:
beta1=beta0 - De
omega1=omega0 - De

Passo 6

O erro relativo em cada coordenada é
errobeta =|beta1-beta0||beta1| =0,098811,9988approx0,0494(4,94%),
erroomega =|omega1-omega0||omega1| =0,053460,09654approx0,5539(55,39%)

Resposta

Depois de uma iteração de Newton, obtemos
boxedbeta1approx -1,9988, omega1approx -0,09654
com erro relativo de aproximadamente
boxed4,94% em betae55,39% em omega

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