Seja . Calcule os valores de e que minimizam , utilizando o método iterativo de Newton. Para aproximação inicial use e critério de parada ou no máximo duas iterações. Comente os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos lá. Temos a função
f(x1,x2)=5x1^2-5x1x2+2,5,x2^2 - x1 - 1,5,x2
e queremos achar o par x^k+1 = x^k - H^-1,nabla f(x^k) que minimiza usando o método de Newton.
Conteúdo: otimização de funções de duas variáveis, gradiente, Hessiana e iteração de Newton.
O que vamos precisar:
Calcular o gradiente (vetor de derivadas).
Calcular a Hessiana (matriz de segundas derivadas).
Montar a fórmula de Newton
Usar o chute inicial e parar quando ou após 2 iterações.
Passo 2
Primeiro, a gente calcula as derivadas parciais: partial fpartial x1 =10,x1 - 5,x2 - 1, partial fpartial x2 =-5,x1 + 5,x2 - 1,5
Então o gradiente é nabla f(x1,x2) = 10x1 - 5x2 - 1[4pt] -5x1 + 5x2 - 1.5
Agora a Hessiana (todas as segundas derivadas):
[
H(x) = H(x) = partial^2 fpartial x1^2 & partial^2 fpartial x1partial x2[4pt] partial^2 fpartial x2partial x1 & partial^2 fpartial x2^2 = 10 & -5 -5 & 5
.
]
Reparou que é constante (não depende de )? Isso acontece porque é um polinômio quadrático.
Passo 3
Fórmula de Newton:
x^k+1 = x^k - H^-1,nabla f(x^k)
Primeiro invertemos H^-1=125 5 & 5 5 & 10 . O determinante é nabla f(1,1) = 10cdot1 -5cdot1 -1 -5cdot1 +5cdot1 -1.5 =4-1.5 , logo
A norma , então paramos já na primeira atualização. Isso é típico: para funções quadráticas, o método de Newton chega ao mínimo exato em uma iteração (desde que o chute inicial não cause problemas).