Comente sobre a afirmação a seguir: O método iterativo de Newton-Raphson é um método de ponto fixo com máxima eficiência.
Passo 1
O enunciado pede para comentarmos a afirmação de que “o método iterativo de Newton–Raphson é um método de ponto fixo com máxima eficiência”. O conteúdo envolvido é o de métodos de ponto fixo, ordem de convergência e índice de eficiência de métodos iterativos.
Passo 2
Primeiro, observamos que toda iteração de Newton–Raphson para resolver
pode ser escrita como iteração de ponto fixo
onde
Logo, Newton–Raphson é de fato um método de ponto fixo.
Passo 3
Em seguida, lembremos que a convergência de Newton–Raphson é de segunda ordem (quadrática), ou seja, se
é raiz simples de
e
está perto de
, então
para alguma constante
. Isso mostra alta taxa de convergência.
Passo 4
Para comparar a eficiência entre métodos, define-se o índice de eficiência como
onde
é a ordem de convergência e
é o número de avaliações de função (e derivada) por iteração. Em Newton–Raphson usa-se normalmente uma avaliação de
e uma de
, logo
e
, resultando
Passo 5
Comparemos com o método da secante, que não exige derivada e tem ordem de convergência
(a razão áurea) usando uma única avaliação de
por iteração efetiva, ou seja,
. Seu índice de eficiência é
o que é maior que
.
Passo 6
Concluímos que, embora Newton–Raphson seja um método de ponto fixo e tenha convergência quadrática (alta eficiência em termos de ordem), ele não atinge o máximo índice de eficiência dentre todos os métodos de ponto fixo. Métodos como a secante apresentam índice de eficiência maior.
Resposta
A afirmação é exagerada. Newton–Raphson é de fato um método de ponto fixo com convergência quadrática, mas não possui o máximo índice de eficiência: o método da secante, por exemplo, apresenta índice de eficiência superior.