Comente sobre a afirmação a seguir: O método iterativo de Newton-Raphson é um método de ponto fixo com máxima eficiência.

Passo 1

O enunciado pede para comentarmos a afirmação de que “o método iterativo de Newton–Raphson é um método de ponto fixo com máxima eficiência”. O conteúdo envolvido é o de métodos de ponto fixo, ordem de convergência e índice de eficiência de métodos iterativos.

Passo 2

Primeiro, observamos que toda iteração de Newton–Raphson para resolver ,f(x)=0 pode ser escrita como iteração de ponto fixo
xn+1 ;=; g(xn),
onde
g(x) ;=; x ;-;f(x)f'(x)
Logo, Newton–Raphson é de fato um método de ponto fixo.

Passo 3

Em seguida, lembremos que a convergência de Newton–Raphson é de segunda ordem (quadrática), ou seja, se x^* é raiz simples de f e x0 está perto de x^*, então
|xn+1-x^*| ;approx; C,|xn-x^*|^2
para alguma constante C. Isso mostra alta taxa de convergência.

Passo 4

Para comparar a eficiência entre métodos, define-se o índice de eficiência como
E = rho^1/m,
onde rho é a ordem de convergência e m é o número de avaliações de função (e derivada) por iteração. Em Newton–Raphson usa-se normalmente uma avaliação de f e uma de f', logo m=2 e rho=2, resultando
EN = 2^1/2approx1,414

Passo 5

Comparemos com o método da secante, que não exige derivada e tem ordem de convergência rhoapprox1,618 (a razão áurea) usando uma única avaliação de f por iteração efetiva, ou seja, m=1. Seu índice de eficiência é
ES ;=; rho^1/1approx1,618,
o que é maior que EN.

Passo 6

Concluímos que, embora Newton–Raphson seja um método de ponto fixo e tenha convergência quadrática (alta eficiência em termos de ordem), ele não atinge o máximo índice de eficiência dentre todos os métodos de ponto fixo. Métodos como a secante apresentam índice de eficiência maior.

Resposta

A afirmação é exagerada. Newton–Raphson é de fato um método de ponto fixo com convergência quadrática, mas não possui o máximo índice de eficiência: o método da secante, por exemplo, apresenta índice de eficiência superior.

Exercícios relacionados