Descreva geometricamente o funcionamento de cada um dos métodos a seguir:
Método da Bisseção
Método da Bisseção
Passo 1
O enunciado pede para descrever geometricamente o funcionamento do método da bisseção, que é um procedimento iterativo para encontrar uma raiz de uma função contínua
num intervalo
. O que vamos precisar:
– O teorema do valor intermediário (Bolzano), que garante existência de raiz se .
– A ideia de ponto médio e como escolher subintervalos sucessivos.
– O teorema do valor intermediário (Bolzano), que garante existência de raiz se
– A ideia de ponto médio e como escolher subintervalos sucessivos.
Passo 2
Primeiro escolhemos um intervalo inicial
tal que
ou seja, no gráfico de
a curva cruza o eixo
entre
e
. Geometricamente, isso significa que em
e
os pontos estão em lados opostos do eixo
.
Passo 3
Em cada iteração
do método calculamos o ponto médio
e avaliamos
. Geometricamente, traçamos no eixo
a abscissa do ponto médio e então vemos se o sinal de
coincide com
ou com
.
– Se , a raiz está em
, escolhemos
e
.
– Caso contrário, a raiz está em , escolhemos
e
.
– Se
– Caso contrário, a raiz está em
Passo 4
Geometricamente, a cada iteração estamos simplesmente “cortando” ao meio o intervalo onde a função muda de sinal. No gráfico, isso equivale a desenhar uma linha vertical em
, identificar em qual subintervalo o gráfico continua cruzando o eixo
, e manter apenas esse subintervalo como nova “caixa” que contém a raiz. Cada caixa sucessiva tem metade do comprimento da anterior.
Passo 5
Como a cada passo o comprimento do intervalo
passa a ser
a sequência de caixas
converge ao ponto em que o gráfico corta o eixo
. O erro máximo após
iterações é
garantindo convergência linear estável.
Resposta
Geometricamente, o método da bisseção inicia com um intervalo
onde o gráfico de
cruza o eixo
. Em cada iteração traça-se o ponto médio
no eixo
, verifica-se o sinal de
para escolher o subintervalo que continua contendo a raiz, e descarta-se a outra metade. Repetindo esse processo, sucessivas “caixas” no eixo
são obtidas, cada uma com metade do comprimento da anterior, até que o ponto de cruzamento seja aproximado com a precisão desejada.