Descreva geometricamente o funcionamento de cada um dos métodos a seguir:
Método da Bisseção

Passo 1

O enunciado pede para descrever geometricamente o funcionamento do método da bisseção, que é um procedimento iterativo para encontrar uma raiz de uma função contínua f num intervalo [a,b]. O que vamos precisar:
– O teorema do valor intermediário (Bolzano), que garante existência de raiz se f(a),f(b)<0.
– A ideia de ponto médio e como escolher subintervalos sucessivos.

Passo 2

Primeiro escolhemos um intervalo inicial [a0,b0] tal que
f(a0),f(b0)<0,
ou seja, no gráfico de y=f(x) a curva cruza o eixo x entre x=a0 e x=b0. Geometricamente, isso significa que em (a0,f(a0)) e (b0,f(b0)) os pontos estão em lados opostos do eixo x.

Passo 3

Em cada iteração n do método calculamos o ponto médio
cn = an-1+bn-12
e avaliamos f(cn). Geometricamente, traçamos no eixo x a abscissa do ponto médio e então vemos se o sinal de f(cn) coincide com f(an-1) ou com f(bn-1).
– Se f(an-1),f(cn)<0, a raiz está em [an-1,cn], escolhemos an=an-1 e bn=cn.
– Caso contrário, a raiz está em [cn,bn-1], escolhemos an=cn e bn=bn-1.

Passo 4

Geometricamente, a cada iteração estamos simplesmente “cortando” ao meio o intervalo onde a função muda de sinal. No gráfico, isso equivale a desenhar uma linha vertical em x=cn, identificar em qual subintervalo o gráfico continua cruzando o eixo x, e manter apenas esse subintervalo como nova “caixa” que contém a raiz. Cada caixa sucessiva tem metade do comprimento da anterior.

Passo 5

Como a cada passo o comprimento do intervalo [an,bn] passa a ser
bn - an = bn-1-an-12,
a sequência de caixas [an,bn] converge ao ponto em que o gráfico corta o eixo x. O erro máximo após n iterações é
b0 - a02^n,
garantindo convergência linear estável.

Resposta

Geometricamente, o método da bisseção inicia com um intervalo [a0,b0] onde o gráfico de y=f(x) cruza o eixo x. Em cada iteração traça-se o ponto médio cn=(an-1+bn-1)/2 no eixo x, verifica-se o sinal de f(cn) para escolher o subintervalo que continua contendo a raiz, e descarta-se a outra metade. Repetindo esse processo, sucessivas “caixas” no eixo x são obtidas, cada uma com metade do comprimento da anterior, até que o ponto de cruzamento seja aproximado com a precisão desejada.

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