Comente sobre a convergência da série de Taylor a medida que se utiliza mais termos da série.
Passo 1
O exercício pede pra gente comentar como a série de Taylor vai se comportando (se aproxima da função original ou não) à medida que incluímos mais termos.
Conteúdo envolvido:
Definição de série de Taylor (polinômios de aproximação).
Resto (erro) de Taylor e condições de convergência.
Raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar a definição da série de Taylor de uma função em torno de um ponto :
Se a gente truncar isso nos primeiros termos, obtém o polinômio de Taylor
Quanto maior , mais termos rolam na soma e teoricamente melhor a gente aproxima .
Passo 3
Para quantificar “quão boa” é essa aproximação, a gente usa o resto de Taylor. Na forma de Lagrange, ele vale
para algum entre e . O que importa é que, se esse for pro infinito de 0 quando , então .
Passo 4
A convergência real da série depende do raio de convergência, dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
Se , então a série converge e . Se , ela tende a não convergir (os termos não vão a zero).
Passo 5
Resumindo a mecânica:
Dentro do raio , o resto geralmente cai super rápido (às vezes como ), então quanto mais termos, menor o erro.
Pra funções analíticas (sem singularidades no disco ), a série sempre converge a nesse intervalo.
Fora desse disco, você pode até ver alguns primeiros termos “fazendo sentido”, mas lá na frente a soma explode e não bate com .
Resposta
Quanto mais termos de Taylor você usar, melhor o polinômio aproxima a função , desde que você esteja dentro do raio de convergência . Nesse caso o resto vai a zero conforme . Se você usar pontos fora de , a série tende a não convergir e o polinômio deixa de aproximar bem a função.