Comente sobre a convergência da série de Taylor a medida que se utiliza mais termos da série.

Passo 1

O exercício pede pra gente comentar como a série de Taylor vai se comportando (se aproxima da função original ou não) à medida que incluímos mais termos.
Conteúdo envolvido:
  • Definição de série de Taylor (polinômios de aproximação).
  • Resto (erro) de Taylor e condições de convergência.
  • Raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar a definição da série de Taylor de uma função f(x)=sumk=0^inftyf^(k)(a)k!,(x-a)^k em torno de um ponto Pn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!,(x-a)^k :
Se a gente truncar isso nos primeiros termos, obtém o polinômio de Taylor
Quanto maior , mais termos rolam na soma e teoricamente melhor a gente aproxima .

Passo 3

Para quantificar “quão boa” é essa aproximação, a gente usa o resto de Taylor. Na forma de Lagrange, ele vale
Rn(x)=f(x)-Pn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,(x-a)^,n+1
para algum entre e . O que importa é que, se esse for pro infinito de 0 quando , então .

Passo 4

A convergência real da série depende do raio de convergência 1R=limsupktoinftyraiz[k]l|tfracf^(k)(a)k!r| , dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
Se , então a série converge e . Se , ela tende a não convergir (os termos não vão a zero).

Passo 5

Resumindo a mecânica:
  1. Dentro do raio , o resto geralmente cai super rápido (às vezes como ), então quanto mais termos, menor o erro.
  2. Pra funções analíticas (sem singularidades no disco ), a série sempre converge a nesse intervalo.
  3. Fora desse disco, você pode até ver alguns primeiros termos “fazendo sentido”, mas lá na frente a soma explode e não bate com .

Resposta

Quanto mais termos de Taylor você usar, melhor o polinômio aproxima a função , desde que você esteja dentro do raio de convergência . Nesse caso o resto vai a zero conforme . Se você usar pontos fora de , a série tende a não convergir e o polinômio deixa de aproximar bem a função.

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