Pelo método de Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel encontre a solução do sistema abaixo
& c) & 2 x+3 y+z=1 & 4 x+2 y+z=10 & 4 x+y+2 z=2

Passo 1

Beleza, vamos ao que importa: o enunciado pede pra gente usar um método iterativo (Gauss–Jacobi ou Gauss–Seidel) para achar a solução do sistema
2x + 3y + z = 1, 4x + 2y + z = 10, 4x + y + 2z = 2
O conteúdo é “métodos iterativos para sistemas lineares” e, pra resolver, a gente precisa:
  1. Reescrever cada equação isolando uma incógnita.
  2. Checar a condição de convergência (diagonal dominante).
  3. Se for ok, aplicar as fórmulas iterativas.

Passo 2

Primeiro conceito: para Gauss–Seidel convergir, geralmente a matriz dos coeficientes precisa ser estritamente diagonal dominante, ou seja, em cada linha o módulo do coeficiente na diagonal principal deve ser maior que a soma dos módulos dos outros coeficientes daquela linha.
Aqui a matriz é
A = 2 & 3 & 1 4 & 2 & 1 4 & 1 & 2
– Linha 1: ? → 2 < 4, não domina.
– Linha 2: ? → 2 < 5, não domina.
– Linha 3: ? → 2 < 5, não domina.
Ou seja, não há dominância diagonal em nenhuma linha, logo tanto o Gauss–Jacobi quanto o Gauss–Seidel tendem a divergir.

Passo 3

Mesmo sem dominância, a gente pode até tentar uma ou duas iterações só pra ver o que acontece, usando Gauss–Seidel. Primeiro, isolamos as variáveis:
x = dfrac1 - 3y - z2,[6pt] y = dfrac10 - 4x - z2,[6pt] z = dfrac2 - 4x - y2
Escolhemos chute inicial .

Passo 4

Primeira iteração (Gauss–Seidel):
x^(1) &= tfrac1 - 3cdot 0 - 02 = 0.5, y^(1) &= tfrac10 - 4cdot 0.5 - 02 = 4, z^(1) &= tfrac2 - 4cdot 0.5 - 42 = -2
Segunda iteração:
x^(2) &= tfrac1 - 3cdot 4 - (-2)2 = -4.5, y^(2) &= tfrac10 - 4cdot(-4.5) - (-2)2 = 15, z^(2) &= tfrac2 - 4cdot(-4.5) - 152 = 2.5
Você vê que os valores explodiram: em vez de convergir, as aproximações ficam cada vez maiores.

Resposta

O sistema até tem solução exata , mas pelos métodos de Gauss–Jacobi ou Gauss–Seidel ele não converge, porque a matriz não é diagonalmente dominante.

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