Pelo método de Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel encontre a solução do sistema abaixo
& d) & 3 x+2 y+3 z=3 & 3 x+5 y+2 z=13 & 2 x+3 y+4 z=12

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a solução do sistema
3x + 2y + 3z = 3, 3x + 5y + 2z = 13, 2x + 3y + 4z = 12
usando um método iterativo (Gauss–Seidel). O conteúdo aqui é Métodos Numéricos para resolver sistemas lineares por iteração. Precisamos:
  1. Reescrever cada equação isolando a variável principal (a da diagonal)
  2. Escolher um chute inicial
  3. Aplicar repetidamente as fórmulas de iteração até convergir

Passo 2

Teoria do Gauss–Seidel em poucas palavras:
– A gente pega cada equação e resolve para a variável da diagonal.
– Na iteração x^(k+1) &= 13l(3 - 2,y^(k) - 3,z^(k)r), y^(k+1) &= 15l(13 - 3,x^(k+1) - 2,z^(k)r), z^(k+1) &= 14l(12 - 2,x^(k+1) - 3,y^(k+1)r) , ao calcular , já usa os valores mais recentes de e ; ao calcular , usa o novo e o , e assim por diante.
As fórmulas ficam:

Passo 3

Chute inicial simples:
x^(0)=0, y^(0)=0, z^(0)=0
Agora vamos ver as primeiras iterações para pegar a ideia:
Iteração 1 ( x^(1) &= tfrac13l(3 -2cdot0 -3cdot0r) = 1, y^(1) &= tfrac15l(13 -3cdot1 -2cdot0r) = 2, z^(1) &= tfrac14l(12 -2cdot1 -3cdot2r) = 1 ):
x^(2) &= tfrac13l(3 -2cdot2 -3cdot1r) = -tfrac43approx -1.3333, y^(2) &= tfrac15l(13 -3cdot(-1.3333) -2cdot1r) = 3, z^(2) &= tfrac14l(12 -2cdot(-1.3333) -3cdot3r) approx 1.4167
Iteração 2 ( ):

Passo 4

Continuando mais algumas iterações até termos mudanças bem pequenas (vou pular alguns passos repetitivos):
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
Iteração 6:
Iteração 7:
Iteração 8:
Percebe que a diferença entre as estimativas vai ficando menor, ou seja, o método está convergindo.

Resposta

Depois de algumas iterações, chega-se a
boxedx approx -3.3478, y approx 3.9130, z approx 1.7391

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