Uma companhia de eletrônica produz transistores, resistores e chips de computador. Cada transistor usa quatro unidades de cobre, uma unidade de zinco e duas unidades de vidro. Cada resistor usa três, três e uma unidades de cada material, respectivamente, e cada chip de computador usa duas, uma e três unidades desses materiais, respectivamente. Colocando essa informação em uma tabela, tem-se
Componente Cobre Zinco Vidro
Transistor 4 1 2
Resistor 3 3 1
Chip de computador 2 1 3
O fornecimento desses materiais varia de semana para semana. Assim, a companhia precisa determinar uma meta de produção diferente para cada semana. Por exemplo, em uma semana a quantidade total de materiais disponíveis era 960 unidades de cobre, 510 unidades de zinco e 610 unidades de vidro. Determine o sistema de equações que modela essa meta de produção e use o método que julgar pertinente para determinar o número de transistores, resistores e chips de computador fabricados nessa semana.

Passo 1

Beleza, mano! O enunciado diz que uma empresa fabrica três itens (transistor, resistor e chip) usando cobre, zinco e vidro. Na semana em questão, ela tinha 960 unidades de cobre, 510 de zinco e 610 de vidro. A matéria aqui é “sistemas de equações lineares” e a gente vai precisar de álgebra básica — principalmente o método de eliminação — pra montar e resolver esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos definir variáveis pra cada componente:
x = número de transistores
y = número de resistores
z = número de chips
Agora, a gente monta as equações de acordo com o consumo de cada material:
  1. Cobre: cada transistor usa 4, resistor 3 e chip 2, total 960
    4x + 3y + 2z = 960
  2. Zinco: cada transistor usa 1, resistor 3 e chip 1, total 510
    x + 3y + z = 510
  3. Vidro: cada transistor usa 2, resistor 1 e chip 3, total 610
    2x + y + 3z = 610

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação. A ideia é combinar equações pra “eliminar” uma variável e sobrar só duas equações com duas incógnitas. Primeiro, eliminamos x:
  • Multiplico a eq. (2) por 4:
    4(x + 3y + z) = 4cdot510 ;Longrightarrow; 4x + 12y + 4z = 2040
  • Agora subtraio a eq. (1) dessa:
    (4x + 12y + 4z);-;(4x + 3y + 2z) = 2040 - 960 ;Longrightarrow; 9y + 2z = 1080
    Chamo isso de eq. (4).
  • Pra segunda combinação, multiplico a eq. (2) por 2:
    2(x + 3y + z) = 2cdot510 ;Longrightarrow; 2x + 6y + 2z = 1020
  • Subtraio da eq. (3):
    (2x + y + 3z);-;(2x + 6y + 2z) = 610 - 1020 ;Longrightarrow; -5y + z = -410
    Chamo isso de eq. (5).
Agora temos o sistema reduzido:
9y + 2z = 1080 (4) -5y + z = -410 (5)

Passo 4

Vamos isolar z na eq. (5):
-5y + z = -410 ;Longrightarrow; z = -410 + 5y
Substituo em (4):
9y + 2(-410 + 5y) = 1080 ;Longrightarrow; 9y - 820 + 10y = 1080 ;Longrightarrow; 19y = 1080 + 820 = 1900 ;Longrightarrow; y = 190019 = 100
Agora z:
z = -410 + 5cdot100 = -410 + 500 = 90

Passo 5

Falta x: uso a eq. (2) x + 3cdot100 + 90 = 510 ;Longrightarrow; x + 300 + 90 = 510 ;Longrightarrow; x = 510 - 390 = 120 :

Resposta

x = 120 transistores,
y = 100 resistores,
z = 90 chips de computador.

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