Analise as seguintes afirmações.
I) Ao converter o número decimal 98,171875 para sua correspondente forma na base binária se torna igual a 1100010,001011.
II) O Sistema de Ponto Flutuante
, isto é, de base 2 , 3 dígitos na mantissa, menor expoente igual a -1 e maior expoente 2 possui como maior e menor número real, em valor absoluto, na base decimal representáveis neste sistema iguais a
, respectivamente.
III) No método de eliminação de Gauss os pivôs são tomados diferentes de zero para que sejam possíveis as eliminações. Caso ocorra algum pivô nulo, deve-se efetuar uma troca de linhas conveniente para escolher um novo pivô não nulo, a fim de que se possa prosseguir com as eliminações. Outra maneira de se evitar o pivô nulo é usar uma estratégia de pivoteamento.
IV) Considere a matriz
. Se os menores principais de
1, então
se decompõe, de maneira única, no produto de uma matriz triangular inferior
, com
por uma matriz triangular superior
. Além disso,
.
V) Se a matriz
, do sistema linear
é simétrica e positiva definida, então
pode ser decomposta unicamente no produto
, onde
, é matriz triangular inferior com elementos diagonais positivos. Além disso,
e o sistema
pode ser escrito como
. Isto representa dois sistemas triangulares,
e
os quais são mais facilmente resolvidos.
A respeito dessas afirmações é correto o que se afirma em
A) I, III, IV e V apenas.
B) I, II e III, apenas.
C) III, IV e V, apenas.
D) I e III, apenas.
E) I, II, III, IV e V.
I) Ao converter o número decimal 98,171875 para sua correspondente forma na base binária se torna igual a 1100010,001011.
II) O Sistema de Ponto Flutuante
III) No método de eliminação de Gauss os pivôs são tomados diferentes de zero para que sejam possíveis as eliminações. Caso ocorra algum pivô nulo, deve-se efetuar uma troca de linhas conveniente para escolher um novo pivô não nulo, a fim de que se possa prosseguir com as eliminações. Outra maneira de se evitar o pivô nulo é usar uma estratégia de pivoteamento.
IV) Considere a matriz
V) Se a matriz
A respeito dessas afirmações é correto o que se afirma em
A) I, III, IV e V apenas.
B) I, II e III, apenas.
C) III, IV e V, apenas.
D) I e III, apenas.
E) I, II, III, IV e V.
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão tá pedindo: analisar cinco afirmações sobre conversão em binário, sistema de ponto flutuante, eliminação de Gauss, decomposição LU e decomposição de Cholesky. O conteúdo é de Aritmética Binária, Ponto Flutuante e Álgebra Linear Numérica (Gauss, LU, Cholesky). Vamos precisar de:
- Como converter partes inteira e fracionária de um decimal em binário.
- Entender o formato de ponto flutuante
. - Regras de pivôs na eliminação de Gauss.
- Condições de existência e forma do LU.
- Propriedades de matrizes simétricas positivas definidas (Cholesky).
Passo 2
Análise da afirmação I: “98,171875 em binário é
.”
- Parte inteira:
. - Parte fracionária:
-
-
-
(resto ) -
-
(resto ) -
→.
Juntando:. Correto!
-
Passo 3
Análise da afirmação II: “No sistema
o maior número é
e o menor (normalizado) é
.”
- Mantissa de 3 dígitos em base 2 é
, com . - Maior mantissa possível:
. Com expoente máximo , o valor é
não.
- Menor normalizado: mantissae expoente mínimo , dá
não .
Logo, II é falsa.
Passo 4
Análise da afirmação III: sobre eliminação de Gauss e pivôs nulos.
É exatamente isso: se um pivô for zero, a gente troca linhas (ou faz pivoteamento) pra continuar a eliminação. Correto e padrão em Álgebra Numérica.
É exatamente isso: se um pivô for zero, a gente troca linhas (ou faz pivoteamento) pra continuar a eliminação. Correto e padrão em Álgebra Numérica.
Passo 5
Análise da afirmação IV: “Se todos os menores principais até
são não-nulos, então existe LU único com
e ainda
.”
- Parte sobre existência e unicidade do LU unitário está certa (condição clássica de Doolittle).
- Mas determinante de
é , não ao quadrado.
Então IV erra ao quadrar o produto.
Passo 6
Análise da afirmação V: Cholesky para
simétrica e positiva definida.
- De fato
com triangular inferior e diagonais positivas, e solução via dois sistemas triangulares. - Porém
, e não apenas .
Portanto a parte do determinante está errada e faz V ser falsa.
Resposta
Apenas I e III são corretas, ou seja, alternativa D.