Analise as seguintes afirmações.
I) Ao converter o número decimal 98,171875 para sua correspondente forma na base binária se torna igual a 1100010,001011.
II) O Sistema de Ponto Flutuante SPF(2,3,-1,2), isto é, de base 2 , 3 dígitos na mantissa, menor expoente igual a -1 e maior expoente 2 possui como maior e menor número real, em valor absoluto, na base decimal representáveis neste sistema iguais a 72 e 14, respectivamente.
III) No método de eliminação de Gauss os pivôs são tomados diferentes de zero para que sejam possíveis as eliminações. Caso ocorra algum pivô nulo, deve-se efetuar uma troca de linhas conveniente para escolher um novo pivô não nulo, a fim de que se possa prosseguir com as eliminações. Outra maneira de se evitar o pivô nulo é usar uma estratégia de pivoteamento.
IV) Considere a matriz A=(ai j), i, j=1, ldots, n. Se os menores principais de A, det(Ai) neq 0, i=1, ldots, n- 1, então A se decompõe, de maneira única, no produto de uma matriz triangular inferior L=(li j), i, j= 1,2, ldots, n, com li i=1, 1 <= i <= n por uma matriz triangular superior U=(ui j), i, j=1,2, ldots, n. Além disso, det(A)=(u11 times u22 times ldots times un n)^2.
V) Se a matriz A=(ai j), n times n, do sistema linear A X=B é simétrica e positiva definida, então A pode ser decomposta unicamente no produto G G^t, onde G=(gi j), n times n, é matriz triangular inferior com elementos diagonais positivos. Além disso, det(A)=(g11 times g22 times ldots times gn n) e o sistema A X=B pode ser escrito como G G^t X=B. Isto representa dois sistemas triangulares, G Y=B e G^t X=Y os quais são mais facilmente resolvidos.
A respeito dessas afirmações é correto o que se afirma em
A) I, III, IV e V apenas.
B) I, II e III, apenas.
C) III, IV e V, apenas.
D) I e III, apenas.
E) I, II, III, IV e V.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo: analisar cinco afirmações sobre conversão em binário, sistema de ponto flutuante, eliminação de Gauss, decomposição LU e decomposição de Cholesky. O conteúdo é de Aritmética Binária, Ponto Flutuante e Álgebra Linear Numérica (Gauss, LU, Cholesky). Vamos precisar de:
  • Como converter partes inteira e fracionária de um decimal em binário.
  • Entender o formato de ponto flutuante SPF(2,t,emin,emax).
  • Regras de pivôs na eliminação de Gauss.
  • Condições de existência e forma do LU.
  • Propriedades de matrizes simétricas positivas definidas (Cholesky).

Passo 2

Análise da afirmação I: “98,171875 em binário é 1100010,001011.”
  1. Parte inteira: 9810=64+32+2implies 11000102.
  2. Parte fracionária:
    • 0,171875times2=0,34375to0
    • 0,34375times2=0,6875to0
    • 0,6875times2=1,375to1 (resto 0,375)
    • 0,375times2=0,75to0
    • 0,75times2=1,5to1 (resto 0,5)
    • 0,5times2=1,0to1
      0,0010112.
      Juntando: 1100010,0010112. Correto!

Passo 3

Análise da afirmação II: “No sistema SPF(2,3,-1,2) o maior número é tfrac72 e o menor (normalizado) é tfrac14.”
  • Mantissa de 3 dígitos em base 2 é d1d2d3, com d1=1.
  • Maior mantissa possível: 1.112=1,75. Com expoente máximo e=2, o valor é 1,75times2^2=710,
    não tfrac72=3,5.
    - Menor normalizado: mantissa 1.002=1 e expoente mínimo e=-1, dá
    1times2^-1=0,5,não 0,25.
    Logo, II é falsa.

Passo 4

Análise da afirmação III: sobre eliminação de Gauss e pivôs nulos.
É exatamente isso: se um pivô for zero, a gente troca linhas (ou faz pivoteamento) pra continuar a eliminação. Correto e padrão em Álgebra Numérica.

Passo 5

Análise da afirmação IV: “Se todos os menores principais até i=n-1 são não-nulos, então existe LU único com lii=1 e ainda det(A)=(u11u22cdots unn)^2.”
  • Parte sobre existência e unicidade do LU unitário está certa (condição clássica de Doolittle).
  • Mas determinante de A=LU é det(L)det(U)=1times(u11u22cdots unn), não ao quadrado.
    Então IV erra ao quadrar o produto.

Passo 6

Análise da afirmação V: Cholesky para A simétrica e positiva definida.
  • De fato A=G,G^t com G triangular inferior e diagonais positivas, e solução via dois sistemas triangulares.
  • Porém det(A)=det(G)det(G^t)=(g11cdots gnn)^2, e não apenas g11cdots gnn.
    Portanto a parte do determinante está errada e faz V ser falsa.

Resposta

Apenas I e III são corretas, ou seja, alternativa D.

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