Considere A X=B o sistema de equações lineares, sendo A=[rrr-2 & 3 & 1 2 & 1 & -4 4 & 10 & -6] e B=[r-5 -9 2].
Verificar se A satisfaz as condições da decomposição L U;

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem é o sistema
A X = B, A = -2 & 3 & 1 2 & 1 & -4 4 & 10 & -6 , ; B = -5-92
O conteúdo da matéria é “decomposição LU” de uma matriz, e o que precisamos verificar é se dá para fatorar em sem trocar linhas (pivotamento). A condição clássica para isso é: “todos os menores principais (determinantes dos blocos superiores-esquerda) devem ser diferentes de zero”.

Passo 2

Antes de calcular, vamos entender a teoria:
Menores principais de ordem são as matrizes que você forma tomando as primeiras linhas e colunas de . Para conseguir sem trocar linhas, cada um desses determinantes não pode ser zero. Então vamos checar para .

Passo 3

Menor principal de ordem 1 (só o elemento detl([-2]r) = -2 ):
Como , ok até aqui.

Passo 4

Menor principal de ordem 2 (top-left det -2 & 3 ;2 & 1 = (-2)cdot 1 ;-; 3cdot 2 = -2 - 6 = -8 ):
De novo , beleza.

Passo 5

Menor principal de ordem 3 (que é det(A) = -2cdotdet1 & -410 & -6 -3cdotdet2 & -44 & -6 +1cdotdet2 & 14 & 10 mesmo):
Usando regra de Sarrus ou expansão por cofatores,
det1 & -410 & -6=1cdot(-6)-(-4)cdot10=-6+40=34,
Calculemos cada pedaço:
det2 & -44 & -6=2cdot(-6)-(-4)cdot4=-12+16=4,
det2 & 14 & 10=2cdot10-1cdot4=20-4=16
det(A) =-2cdot34 ;-;3cdot4;+;1cdot16 =-68 -12 +16 =-64
Então
E .

Resposta

Todos os menores principais ( ) são diferentes de zero ( , e ). Logo, a matriz satisfaz as condições para ter decomposição sem pivotamento.

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