Comparando métodos (mesmos pontos da Questão 6)
Usando agora a Fórmula de Lagrange (ou resolvendo o sistema linear), encontre novamente o polinômio de grau 4 e verifique se
é o mesmo que na Questão 6.
Passo 1
Beleza, o que a questão está pedindo é: usando os MESMOS cinco pontos que você usou na Questão 6, monte de novo o polinômio interpolador de grau 4 agora pelo método de Lagrange (ou resolvendo o sistema), e veja se ao avaliar em
dá o mesmo valor que você já tinha achado lá. O assunto é “Interpolação Polinomial” e, em particular, a “Fórmula de Lagrange”. Para resolver, você vai precisar:
- Conhecer a definição dos polinômios básico de Lagrange
- Saber somar/escalar polinômios, e
- Ter em mãos os seus pontos
da Questão 6.
Passo 2
Relembrando a teoria: o polinômio de Lagrange de grau 4 que interpola os pontos
é
onde cada base
é
Isso garante que
(1 se
, 0 caso contrário), e portanto
.
Passo 3
Agora, usando os cinco pontos da Questão 6 (ou seja, substituindo cada
e
na fórmula acima), montei explicitamente:
Depois some
para obter
.
Passo 4
Sem nem precisar expandir todo o polinômio, basta avaliar em
:
Para cada
, você já calcula
multiplica por
e soma tudo.
Passo 5
Como a interpolação polinomial de grau 4 em 5 pontos é única, esse valor
vai coincidir exatamente com o que você obteve na Questão 6 (mesmo que agora o cálculo seja feito pela fórmula de Lagrange).
Resposta
Sim: avaliando o polinômio de Lagrange em
dá exatamente o mesmo valor de
que você já tinha encontrado na Questão 6.