Comparando métodos (mesmos pontos da Questão 6)
Usando agora a Fórmula de Lagrange (ou resolvendo o sistema linear), encontre novamente o polinômio de grau 4 e verifique se p(2) é o mesmo que na Questão 6.

Passo 1

Beleza, o que a questão está pedindo é: usando os MESMOS cinco pontos que você usou na Questão 6, monte de novo o polinômio interpolador de grau 4 agora pelo método de Lagrange (ou resolvendo o sistema), e veja se ao avaliar em dá o mesmo valor que você já tinha achado lá. O assunto é “Interpolação Polinomial” e, em particular, a “Fórmula de Lagrange”. Para resolver, você vai precisar:
  1. Conhecer a definição dos polinômios básico de Lagrange
  2. Saber somar/escalar polinômios, e
  3. Ter em mãos os seus pontos da Questão 6.

Passo 2

Relembrando a teoria: o polinômio de Lagrange de grau 4 que interpola os pontos p(x) ;=;sumi=0^4 yi;Li(x), é
Li(x) ;=;prodsubstackj=0jneq i^4x - xjxi - xj
onde cada base é
Isso garante que (1 se , 0 caso contrário), e portanto .

Passo 3

Agora, usando os cinco pontos da Questão 6 (ou seja, substituindo cada L0(x)&=(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3)(x0 - x4), L1(x)&=(x - x0)(x - x2)(x - x3)(x - x4)(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3)(x1 - x4), & ,vdots L4(x)&=(x - x0)(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x4 - x0)(x4 - x1)(x4 - x2)(x4 - x3) e na fórmula acima), montei explicitamente:
Depois some para obter .

Passo 4

Sem nem precisar expandir todo o polinômio, basta avaliar em p(2);=;sumi=0^4 yi;Li(2) :
Li(2)=prodjneq i2 - xjxi - xj,
Para cada , você já calcula
multiplica por e soma tudo.

Passo 5

Como a interpolação polinomial de grau 4 em 5 pontos é única, esse valor vai coincidir exatamente com o que você obteve na Questão 6 (mesmo que agora o cálculo seja feito pela fórmula de Lagrange).

Resposta

Sim: avaliando o polinômio de Lagrange em dá exatamente o mesmo valor de que você já tinha encontrado na Questão 6.

Exercícios relacionados