Interpolação (Newton, grau 3)
Dados os pontos
(0,0), (2,4), (3,9), (5,25),
encontre o polinômio de grau 3 via diferenças divididas de Newton e calcule p(4).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem quatro pontos
(0,0),;(2,4),;(3,9),;(5,25)
e que a gente deve encontrar o polinômio de grau até 3 usando diferenças divididas de Newton e, depois, calcular .
Isso é parte de Interpolação Polinomial — em especial o método de Newton com diferenças divididas. Para resolver, a gente vai montar a tabela de diferenças divididas, extrair os coeficientes e montar o polinômio de Newton.

Passo 2

Primeiro, anota os valores iniciais (zeroth order):
f[x0]=f(0)=0, f[x1]=f(2)=4, f[x2]=f(3)=9, f[x3]=f(5)=25
Agora a diferença dividida de 1ª ordem entre cada par vizinho:
f[x0,x1]=f[x1]-f[x0]x1-x0 =4-02-0=2,
f[x1,x2]=9-43-2=5,
f[x2,x3]=25-95-3=162=8

Passo 3

Em seguida, as diferenças divididas de 2ª ordem:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =5-23-0=33=1,
f[x1,x2,x3] =f[x2,x3]-f[x1,x2]x3-x1 =8-55-2=33=1

Passo 4

Agora a diferença dividida de 3ª ordem (entre os quatro pontos):
f[x0,x1,x2,x3] =f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]x3-x0 =1-15-0=0
Pronto, temos todos os coeficientes da forma de Newton:
p(x)=f[x0] +f[x0,x1],(x-x0) +f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1) +f[x0,x1,x2,x3],(x-x0)(x-x1)(x-x2)
Substituindo os valores:
p(x)=0 + 2(x-0) + 1,(x-0)(x-2) + 0cdot(dots) =2x + x(x-2)
E p(x)=2x + (x^2-2x)=x^2 , então

Passo 5

Pra calcular p(4)=4^2=16 , é só pôr em :

Resposta

O polinômio interpolador é
boxedp(x)=x^2
e o valor interpolado em boxedp(4)=16 é

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