Interpolação (sistema linear, grau 2)
Suponha que um polinômio de grau 2, p(x)=a0+a1 x+a2 x^2, deva interpolar três pontos:
(1,2), (2,5), (4,3)
(a) Escreva o sistema linear para a0, a1, a2.
(b) Resolva-o e apresente p(x) na forma simplificada.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra encontrar um polinômio de grau 2

que passe pelos pontos .
Conteúdo: interpolação por sistema linear.
O que precisamos:
  • Montar as equações fazendo .
  • Resolver esse sistema 3×3 pra achar .

Passo 2

Vamos escrever as três equações plugging cada ponto:
  1. Para a0 + a1cdot1 + a2cdot1^2 = 2 ;Longrightarrow; a0 + a1 + a2 = 2 :
a0 + a1cdot2 + a2cdot2^2 = 5 ;Longrightarrow; a0 + 2a1 + 4a2 = 5
  1. Para a0 + 4a1 +16a2 = 3 :
a0 + a1 + a2 = 2, a0 +2a1+4a2=5, a0 +4a1+16a2=3
  1. Para :
Então o sistema é

Passo 3

Agora, elimina (a0+2a1+4a2)-(a0+a1+a2)=5-2 ;Longrightarrow; a1+3a2=3 (chama de Eq4) subtraindo a primeira equação das outras:
  • (Eq2)−(Eq1):
(a0+4a1+16a2)-(a0+2a1+4a2)=3-5 ;Longrightarrow; 2a1+12a2=-2 ;Longrightarrow; a1+6a2=-1 (chama de Eq5)
  • (Eq3)−(Eq2):
(a1+6a2)-(a1+3a2)=-1-3 ;Longrightarrow; 3a2=-4 ;Longrightarrow; a2=-tfrac43
Agora subtraí Eq4 de Eq5 pra achar a1+3!l(-tfrac43r)=3 ;Longrightarrow; a1-4=3 ;Longrightarrow; a1=7 :
a0 + a1 + a2 =2 ;Longrightarrow; a0 +7 -tfrac43=2 ;Longrightarrow; a0 =2-7+tfrac43 =-5+tfrac43 =-tfrac113
Com em mãos, volta em Eq4:
Por fim, usa a Eq1 pra :

Resposta

boxedp(x)=-tfrac113 ;+;7x;-;tfrac43,x^2

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