Interpolação (Newton, grau 4)
Para a tabela
c|lllll x & 0 & 1 & 3 & 4 & 6 f(x) & 1 & 2 & 4 & 3 & 2
construa o polinômio interpolador de grau 4 pela Forma de Newton. Em seguida, calcule p(2).

Passo 1

Beleza, vamos por partes. A questão pede pra gente montar o polinômio interpolador de grau 4 pela Forma de Newton usando a tabela
c|ccccc x & 0 & 1 & 3 & 4 & 6hline f(x) & 1 & 2 & 4 & 3 & 2
Conteúdo envolvido: métodos de interpolação polinomial, em particular as diferenças divididas de Newton.
O que precisamos:
  1. Entender e montar a tabela de diferenças divididas.
  2. Escrever o polinômio na forma de Newton.
  3. Avaliar esse polinômio em .

Passo 2

Vamos montar a tabela de diferenças divididas. A ideia é gerar coeficientes que vão aparecer no polinômio de Newton.
Definição:
  • A diferença de primeira ordem entre f[xi,xi+1] ;=;f(xi+1) - f(xi)xi+1-xi e f[xi,xi+1,xi+2] =f[xi+1,xi+2]-f[xi,xi+1]xi+2-xi, : f[x0,x1]=2-11-0=1, f[x1,x2]=4-23-1=1, f[x2,x3]=3-44-3=-1, f[x3,x4]=2-36-4=-tfrac12
  • A diferença de ordem superior segue análogo, por exemplo f[x0,x1,x2] =1-13-0=0, f[x1,x2,x3] =-1-14-1=-tfrac23, f[x2,x3,x4] =-tfrac12-(-1)6-3=tfrac16 e assim por diante.
Vamos calcular passo a passo (todos exatos em frações):
  1. Ordem 0 (os próprios valores):
    f[x0,x1,x2,x3] =-tfrac23 - 04-0=-tfrac16, f[x1,x2,x3,x4] =tfrac16 - (-tfrac23)6-1=tfrac16
  2. Primeira ordem:
    f[x0,x1,x2,x3,x4] =tfrac16 - (-tfrac16)6-0=tfrac118
  3. Segunda ordem:
  4. Terceira ordem:
  5. Quarta ordem:
Esses valores serão nossos coeficientes na forma de Newton!

Passo 3

Agora escrevemos o polinômio de Newton de grau 4:
p(x) = f[x0] + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + f[x0,x1,x2,x3](x - x0)(x - x1)(x - x2) + f[x0,x1,x2,x3,x4](x - x0)(x - x1)(x - x2)(x - x3)
Substituindo p(x) = 1 + 1,(x-0) + 0,(x-0)(x-1) - tfrac16(x-0)(x-1)(x-3) + tfrac118(x-0)(x-1)(x-3)(x-4) e os coeficientes:

Passo 4

Vamos avaliar p(2)=1+2+0+tfrac13+tfrac29 =3 + 3+29 =3 + tfrac59 =tfrac329 . Calculando termo a termo:
  1. .
  2. .
  3. .
Somando tudo:

Resposta

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