Interpolação (Newton, grau 4)
Para a tabela
construa o polinômio interpolador de grau 4 pela Forma de Newton. Em seguida, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes. A questão pede pra gente montar o polinômio interpolador de grau 4 pela Forma de Newton usando a tabela
Conteúdo envolvido: métodos de interpolação polinomial, em particular as diferenças divididas de Newton.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Entender e montar a tabela de diferenças divididas.
- Escrever o polinômio na forma de Newton.
- Avaliar esse polinômio em
.
Passo 2
Vamos montar a tabela de diferenças divididas. A ideia é gerar coeficientes que vão aparecer no polinômio de Newton.
Definição:
- A diferença de primeira ordem entre
e : - A diferença de ordem superior segue análogo, por exemplo
e assim por diante.
Vamos calcular passo a passo (todos exatos em frações):
-
Ordem 0 (os próprios valores):
-
Primeira ordem:
-
Segunda ordem:
-
Terceira ordem:
-
Quarta ordem:
Esses valores serão nossos coeficientes na forma de Newton!
Passo 3
Agora escrevemos o polinômio de Newton de grau 4:
Substituindo
e os coeficientes:
Passo 4
Vamos avaliar
. Calculando termo a termo:
-
. -
. -
. -
-
Somando tudo: