Considere a função
.
(a) Mostre que
possui uma raiz real no intervalo
.
(b) Aplique o método da falsa posição a partir de [1, 2] e obtenha uma aproximação
.
(a) Mostre que
(b) Aplique o método da falsa posição a partir de [1, 2] e obtenha uma aproximação
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar que
possui uma raiz real no intervalo . - (b) Aplicar o método da falsa posição (regula falsi) partindo do intervalo
e obter uma aproximação com .
Informações fornecidas e condições iniciais:
- Função:
. - Intervalo inicial:
, . - Precisão desejada:
.
Passo 2
(a) Mostrar existência de raiz em
.
A estratégia é usar o Teorema do Valor Intermediário: se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em
.
- Polinômios são contínuos em todo
, logo é contínua em . - Calcular
e :
- Como
e , há mudança de sinal em . Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real de em .
Passo 3
(b) Método da falsa posição — explicação e fórmula.
Ideia do método:
- Seja
e extremos de um intervalo com . Em vez de usar o ponto médio (como na bisseção), a falsa posição aproxima a curva por uma reta que liga e e toma a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . Esse ponto tem tendência a convergir mais rápido que a bisseção quando a função é aproximadamente linear no intervalo.
Fórmula (regula falsi):
Aqui:
-
e são os extremos do intervalo atual, -
e são os valores da função nesses extremos, -
é a nova aproximação da raiz.
Critério de parada escolhido:
- Vou parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que
, isto é, quando . Essa é uma escolha prática que garante que as iterações sucessivas já estão muito próximas (é uma forma comum de controlar a precisão do ponto encontrado).
Agora aplico o método a partir de
,
com
. Em cada iteração mostro
,
,
,
,
e
, e a atualização do intervalo.
Passo 4
Iteração 1:
-
, . -
, . - Calcula-se
- Avaliar
: - Como
e , a raiz está em . Atualiza-se:
Passo 5
Iteração 2:
-
, . -
, . - Calcula-se
(valor exato racional é , aproximado para leitura). - Avaliar
(aprox.): - Como
, atualiza-se o intervalo para :
Passo 6
Iteração 3:
-
, . -
, . - Calcula-se
- Avaliar
: - Como
, atualiza-se:
Passo 7
Iteração 4:
-
, . -
, . - Calcula-se
- Avaliar
: - Como
, atualiza-se:
Passo 8
Iteração 5:
-
, . -
, . - Calcula-se
- Avaliar
: - Agora
e , então a raiz está em . Atualiza-se:
Passo 9
Iteração 6:
-
, . -
, . - Calcula-se
Numericamente, - Diferença entre as últimas aproximações:
- Como a diferença entre duas iterações consecutivas já é menor que
, paramos. Uma aproximação aceitável da raiz é .
Resposta
(a) Sim.
e
, logo existe pelo menos uma raiz em
.
(b) Aproximação pela falsa posição: (critério:
).
(b) Aproximação pela falsa posição: