Considere a função f(x)=x^{4}-x-10.
(a) Mostre que f possui uma raiz real no intervalo [1,2].
(b) Aplique o método da falsa posição a partir de [1, 2] e obtenha uma aproximação \operatorname{com} \varepsilon=10^{-4}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{4}-x-10 e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que f possui uma raiz real no intervalo [1,2].
  • (b) Aplicar o método da falsa posição (regula falsi) partindo do intervalo [1,2] e obter uma aproximação com \varepsilon=10^{-4}.
Informações fornecidas e condições iniciais:
  • Função: f(x)=x^{4}-x-10.
  • Intervalo inicial: a_{0}=1, b_{0}=2.
  • Precisão desejada: \varepsilon=10^{-4}.

Passo 2

(a) Mostrar existência de raiz em [1,2].
A estratégia é usar o Teorema do Valor Intermediário: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}, logo f é contínua em [1,2].
  • Calcular f(1) e f(2): f(1)=1^{4}-1-10=1-1-10=-10,
f(2)=2^{4}-2-10=16-2-10=4.
  • Como f(1)=-10<0 e f(2)=4>0, há mudança de sinal em [1,2]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real de f em [1,2].

Passo 3

(b) Método da falsa posição — explicação e fórmula.
Ideia do método:
  • Seja a e b extremos de um intervalo com f(a)\cdot f(b)<0. Em vez de usar o ponto médio (como na bisseção), a falsa posição aproxima a curva por uma reta que liga (a,f(a)) e (b,f(b)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação c. Esse ponto tem tendência a convergir mais rápido que a bisseção quando a função é aproximadamente linear no intervalo.
Fórmula (regula falsi):
c = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Aqui:
  • a e b são os extremos do intervalo atual,
  • f(a) e f(b) são os valores da função nesses extremos,
  • c é a nova aproximação da raiz.
Critério de parada escolhido:
  • Vou parar quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que \varepsilon, isto é, quando |c_{n}-c_{n-1}|<\varepsilon. Essa é uma escolha prática que garante que as iterações sucessivas já estão muito próximas (é uma forma comum de controlar a precisão do ponto encontrado).
Agora aplico o método a partir de a_{0}=1, b_{0}=2 com \varepsilon=10^{-4}. Em cada iteração mostro a, b, f(a), f(b), c e f\text{(c)}, e a atualização do intervalo.

Passo 4

Iteração 1:
  • a_{0}=1, f(a_{0})= -10.
  • b_{0}=2, f(b_{0})= 4.
  • Calcula-se c_{1}=b_{0}-f(b_{0})\frac{b_{0}-a_{0}}{f(b_{0})-f(a_{0})} =2-4\cdot\frac{2-1}{4-(-10)}=2-\frac{4}{14}=\frac{12}{7}\approx 1,714285714.
  • Avaliar f(c_{1}): f\!\left(\tfrac{12}{7}\right)=\left(\tfrac{12}{7}\right)^{4}-\tfrac{12}{7}-10 =\frac{20736}{2401}-\frac{12}{7}-10=\frac{-7390}{2401}\approx -3,078718.
  • Como f(c_{1})<0 e f(b_{0})>0, a raiz está em [c_{1},b_{0}]. Atualiza-se: a_{1}=c_{1}\approx 1,714285714,\qquad b_{1}=2.

Passo 5

Iteração 2:
  • a_{1}\approx 1,714285714, f(a_{1})\approx -3,078718.
  • b_{1}=2, f(b_{1})=4.
  • Calcula-se c_{2}=2-4\cdot\frac{2-1,714285714}{4-(-3,078718)}\approx 1,838459.(valor exato racional é c_{2}=\dfrac{109354}{59479}, aproximado para leitura).
  • Avaliar f(c_{2}) (aprox.): f(c_{2})\approx (1,838459)^{4}-1,838459-10\approx -0,414519.
  • Como f(c_{2})<0, atualiza-se o intervalo para [c_{2},\,2]: a_{2}=c_{2}\approx 1,838459,\qquad b_{2}=2.

Passo 6

Iteração 3:
  • a_{2}\approx 1,838459, f(a_{2})\approx -0,414519.
  • b_{2}=2, f(b_{2})=4.
  • Calcula-se c_{3}=2-4\cdot\frac{2-1,838459}{4-(-0,414519)}\approx 1,853566.
  • Avaliar f(c_{3}): f(c_{3})\approx (1,853566)^{4}-1,853566-10\approx -0,049466.
  • Como f(c_{3})<0, atualiza-se: a_{3}=c_{3}\approx 1,853566,\qquad b_{3}=2.

Passo 7

Iteração 4:
  • a_{3}\approx 1,853566, f(a_{3})\approx -0,049466.
  • b_{3}=2, f(b_{3})=4.
  • Calcula-se c_{4}=2-4\cdot\frac{2-1,853566}{4-(-0,049466)}\approx 1,855333.
  • Avaliar f(c_{4}): f(c_{4})\approx (1,855333)^{4}-1,855333-10\approx -0,007533.
  • Como f(c_{4})<0, atualiza-se: a_{4}=c_{4}\approx 1,855333,\qquad b_{4}=2.

Passo 8

Iteração 5:
  • a_{4}\approx 1,855333, f(a_{4})\approx -0,007533.
  • b_{4}=2, f(b_{4})=4.
  • Calcula-se c_{5}=2-4\cdot\frac{2-1,855333}{4-(-0,007533)}\approx 1,855653.
  • Avaliar f(c_{5}): f(c_{5})\approx (1,855653)^{4}-1,855653-10\approx +0,001687.
  • Agora f(c_{5})>0 e f(a_{4})<0, então a raiz está em [a_{4},c_{5}]. Atualiza-se: a_{5}=a_{4}\approx 1,855333,\qquad b_{5}=c_{5}\approx 1,855653.

Passo 9

Iteração 6:
  • a_{5}\approx 1,855333, f(a_{5})\approx -0,007533.
  • b_{5}\approx 1,855653, f(b_{5})\approx +0,001687.
  • Calcula-se c_{6}=b_{5}-f(b_{5})\frac{b_{5}-a_{5}}{f(b_{5})-f(a_{5})}.Numericamente, c_{6}\approx 1,855653 - 0,001687\cdot\frac{1,855653-1,855333}{0,001687-(-0,007533)} \approx 1,855594.
  • Diferença entre as últimas aproximações: |c_{6}-c_{5}|\approx |1,855594-1,855653|\approx 0,000059 < 10^{-4}.
  • Como a diferença entre duas iterações consecutivas já é menor que \varepsilon=10^{-4}, paramos. Uma aproximação aceitável da raiz é c_{6}\approx 1,855594.

Resposta

(a) Sim. f(1)=-10 e f(2)=4, logo existe pelo menos uma raiz em [1,2].
(b) Aproximação pela falsa posição: x\approx 1,855594 (critério: |c_{n}-c_{n-1}|<10^{-4}).

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