A temperatura
(
) no interior de uma barra metálica ao longo do tempo
(em minutos) é descrita por
Use o método da falsa posição para determinar em que instante
a temperatura se anula. Adote
.
Obs. Tente resolver este problema por meio da sua implementação computacional.
Obs. Tente resolver este problema por meio da sua implementação computacional.
Passo 1
O enunciado nos dá a temperatura
em função do tempo
(minutos):
O intervalo fornecido é
. A pergunta é: usar o método da falsa posição para determinar em que instante
a temperatura se anula, adotando
.
Informações relevantes do enunciado:
- Função alvo:
. - Intervalo candidato:
. - Critério de precisão pedido:
. - Pede-se uso do método da falsa posição (regula falsi) e implementação computacional foi sugerida.
Passo 2
Antes de aplicar a falsa posição é obrigatório verificar a condição básica: o método exige um intervalo
tal que
e
tenham sinais opostos (ou seja,
). Vou calcular
e
passo a passo (usei valores numéricos de funções exponencial e cosseno que uma implementação computacional daria):
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Conclusão deste passo:
e
. Portanto
.
Passo 3
Explicando o método da falsa posição (didático, para você entender como implementar):
- Requisito inicial: escolher
e tais que . Esse é o ponto essencial: o método precisa que a raiz esteja garantidamente entre e por teorema do valor intermediário. - Fórmula da iteração (regula falsi): dada um intervalo
com , a aproximação pela falsa posição é
- Interpretação:
é a interseção da reta que liga a com o eixo . - Critério de parada comum em implementação: parar quando
ou quando . - Observação prática: se
e têm o mesmo sinal, a fórmula ainda calcula um numérico, mas não há garantia de que exista raiz no intervalo. Aplicar o método nesse caso é matematicamente incorreto.
Passo 4
Aplicando o raciocínio à nossa situação: já calculamos
e
. Como os sinais são iguais, a condição necessária para usar a falsa posição não está satisfeita. Em termos de implementação computacional isso vira um teste inicial simples:
Pseudo-etapa (o que faria no código):
- Calcular
e . - Se
então abortar e avisar que não há garantia de raiz no intervalo (ou procurar outro intervalo). - Caso contrário, executar as iterações usando a fórmula acima até
.
No nosso caso o passo 2 falha e o algoritmo deve abortar. Então NÃO se pode aplicar a falsa posição em
.
Passo 5
Para ser prestativo e didático: quando um professor dá um intervalo, às vezes há um erro de digitação no enunciado. Se o objetivo for realmente encontrar uma raiz próxima no tempo, um procedimento prático é fazer uma varredura rápida para localizar um intervalo onde o sinal muda. Por exemplo (apenas para ilustrar), calculei
:
Cálculo rápido de
:
Como
e
, existe ao menos uma raiz em
. Nesse caso a falsa posição poderia ser aplicada com
e
para encontrar a raiz numericamente. Se quiser, eu faço essa aplicação e mostro as iterações da falsa posição em
até a tolerância pedida — é só me autorizar (ou eu faço em seguida automaticamente).
Resposta
Não é possível aplicar o método da falsa posição em
, pois
e
têm o mesmo sinal (logo não há garantia de raiz nesse intervalo).