A temperatura T ( \mathrm{em}{ }^{\circ} \mathrm{C} ) no interior de uma barra metálica ao longo do tempo t (em minutos) é descrita por
T(t)=200 e^{-0,15 t}-80 \cos (0,5 t)-80
Use o método da falsa posição para determinar em que instante t \in[3,5] a temperatura se anula. Adote \varepsilon=10^{-3}.
Obs. Tente resolver este problema por meio da sua implementação computacional.

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura T em função do tempo t (minutos):
T(t)=200 e^{-0,15 t}-80 \cos(0,5 t)-80
O intervalo fornecido é t\in[3,5]. A pergunta é: usar o método da falsa posição para determinar em que instante t\in[3,5] a temperatura se anula, adotando \varepsilon=10^{-3}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Função alvo: T(t)=200 e^{-0,15 t}-80 \cos(0,5 t)-80.
  • Intervalo candidato: [3,5].
  • Critério de precisão pedido: \varepsilon=10^{-3}.
  • Pede-se uso do método da falsa posição (regula falsi) e implementação computacional foi sugerida.

Passo 2

Antes de aplicar a falsa posição é obrigatório verificar a condição básica: o método exige um intervalo [a,b] tal que T(a) e T(b) tenham sinais opostos (ou seja, T(a)\,T(b)<0). Vou calcular T(3) e T(5) passo a passo (usei valores numéricos de funções exponencial e cosseno que uma implementação computacional daria):
Cálculo de T(3):
e^{-0,15\cdot 3}=e^{-0,45}\approx 0{,}637628,
200\cdot e^{-0,45}\approx 200\cdot 0{,}637628\approx 127{,}5256,
\cos(0,5\cdot 3)=\cos(1{,}5)\approx 0{,}0707372,
-80\cos(1{,}5)\approx -80\cdot 0{,}0707372\approx -5{,}6590,
T(3)\approx 127{,}5256 - 5{,}6590 - 80 \approx 41{,}8666.
Cálculo de T(5):
e^{-0,15\cdot 5}=e^{-0,75}\approx 0{,}4723666,
200\cdot e^{-0,75}\approx 94{,}4733,
\cos(0,5\cdot 5)=\cos(2{,}5)\approx -0{,}8011436,
-80\cos(2{,}5)\approx -80\cdot(-0{,}8011436)\approx 64{,}0915,
T(5)\approx 94{,}4733 + 64{,}0915 - 80 \approx 78{,}5648.
Conclusão deste passo: T(3)\approx 41{,}867>0 e T(5)\approx 78{,}565>0. Portanto T(3)\cdot T(5)>0.

Passo 3

Explicando o método da falsa posição (didático, para você entender como implementar):
  • Requisito inicial: escolher a e b tais que T(a)\,T(b)<0. Esse é o ponto essencial: o método precisa que a raiz esteja garantidamente entre a e b por teorema do valor intermediário.
  • Fórmula da iteração (regula falsi): dada um intervalo [a,b] com T(a)\,T(b)<0, a aproximação pela falsa posição é
x_r=b - T(b)\,\frac{b-a}{T(b)-T(a)}.
  • Interpretação: x_r é a interseção da reta que liga (a,T(a)) a (b,T(b)) com o eixo t.
  • Critério de parada comum em implementação: parar quando |x_{r}^{(k)}-x_{r}^{(k-1)}|<\varepsilon ou quando |T(x_r)|<\varepsilon.
  • Observação prática: se T(a) e T(b) têm o mesmo sinal, a fórmula ainda calcula um x_r numérico, mas não há garantia de que exista raiz no intervalo. Aplicar o método nesse caso é matematicamente incorreto.

Passo 4

Aplicando o raciocínio à nossa situação: já calculamos T(3)>0 e T(5)>0. Como os sinais são iguais, a condição necessária para usar a falsa posição não está satisfeita. Em termos de implementação computacional isso vira um teste inicial simples:
Pseudo-etapa (o que faria no código):
  1. Calcular T(a) e T(b).
  2. Se T(a)\cdot T(b)>0 então abortar e avisar que não há garantia de raiz no intervalo (ou procurar outro intervalo).
  3. Caso contrário, executar as iterações usando a fórmula acima até \varepsilon.
No nosso caso o passo 2 falha e o algoritmo deve abortar. Então NÃO se pode aplicar a falsa posição em [3,5].

Passo 5

Para ser prestativo e didático: quando um professor dá um intervalo, às vezes há um erro de digitação no enunciado. Se o objetivo for realmente encontrar uma raiz próxima no tempo, um procedimento prático é fazer uma varredura rápida para localizar um intervalo onde o sinal muda. Por exemplo (apenas para ilustrar), calculei T(10):
Cálculo rápido de T(10):
e^{-0,15\cdot 10}=e^{-1{,}5}\approx 0{,}223130,
200\cdot e^{-1{,}5}\approx 44{,}6260,
\cos(0{,}5\cdot 10)=\cos(5)\approx 0{,}283662,
-80\cos(5)\approx -22{,}6930,
T(10)\approx 44{,}6260 - 22{,}6930 - 80 \approx -58{,}0670.
Como T(5)\approx 78{,}565>0 e T(10)\approx -58{,}067<0, existe ao menos uma raiz em [5,10]. Nesse caso a falsa posição poderia ser aplicada com [a,b]=[5,10] e \varepsilon=10^{-3} para encontrar a raiz numericamente. Se quiser, eu faço essa aplicação e mostro as iterações da falsa posição em [5,10] até a tolerância pedida — é só me autorizar (ou eu faço em seguida automaticamente).

Resposta

Não é possível aplicar o método da falsa posição em [3,5], pois T(3)\approx 41{,}867 e T(5)\approx 78{,}565 têm o mesmo sinal (logo não há garantia de raiz nesse intervalo).

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