Compare o método da posição falsa e o método de Newton na resolução da equação:
(a) Justifique um intervalo inicial adequado para o método da posição falsa.
(b) Execute 5 iterações de cada método.
(c) Compare a convergência dos métodos considerando a ordem de convergência e o número de iterações.
(b) Execute 5 iterações de cada método.
(c) Compare a convergência dos métodos considerando a ordem de convergência e o número de iterações.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas: (a) justificar um intervalo inicial adequado para o método da posição falsa; (b) executar 5 iterações do método da posição falsa e 5 iterações do método de Newton; (c) comparar a convergência dos dois métodos (ordem e número de iterações).
Informações relevantes que já temos (vou calcular valores que vamos usar):
-
. -
. Como , temos .
Portanto existe uma raiz em algum ponto de
porque
e
têm sinais opostos (teorema do valor intermediário).
Passo 2
Método da posição falsa (regula falsi) — explicação e fórmula.
- Ideia: manter um intervalo
em que e têm sinais opostos e aproximar a raiz pela interseção da reta que liga e com o eixo . - Fórmula do ponto de falsa posição
:
Aqui
e
são as extremidades atuais do intervalo com
. Após calcular
avaliamos
. Se
tem sinal oposto de
então trocamos
; se tem sinal oposto de
então trocamos
. Sempre mantemos um intervalo que contém a raiz.
Agora aplicamos o método com o intervalo inicial
. Vou mostrar cinco iterações com os cálculos numéricos aproximados (números arredondados para 6 casas decimais onde aplicável).
Iteração 1:
-
. -
. - Calcular
- Avaliando
:
- Como
e , substituímos , .
Iteração 2:
-
. -
. - Calcular
- Avaliando
:
- Substituímos
, .
Iteração 3:
-
. -
. - Calcular
- Avaliando
:
- Substituímos
, .
Iteração 4:
-
. -
. - Calcular
- Avaliando
:
- Substituímos
, .
Iteração 5:
-
. -
. - Calcular
- Avaliando
:
Observações sobre a posição falsa: cada iteração manteve o extremo direito
porque
e os
continuaram tendo
nas primeiras iterações — isto é típico: a aproximação vai “puxando” o extremo cujo sinal for menor, e a convergência é linear e às vezes lenta.
Passo 3
Método de Newton — explicação e fórmula.
- Ideia: usar aproximação linear (reta tangente) em torno de uma estimativa
e tomar interseção dessa reta com o eixo como nova estimativa. - Fórmula:
- Observação didática:
é a inclinação da tangente; se for pequeno o passo pode ser grande — por isso escolhemos um ponto inicial razoável (aqui usamos que está dentro do intervalo ).
Agora calculamos 5 iterações (vou listar
a
;
é o chute inicial).
Dados iniciais:
-
. -
. -
.
Iteração 1 (Newton):
Avaliação:
-
(pequeno). -
.
Iteração 2 (Newton):
Avaliação:
-
(quase zero). -
.
Iteração 3 (Newton):
Iteração 4:
Iteração 5:
Observação numérica: Newton já alcançou a precisão mostrada (6 casas decimais estáveis) em 3 iterações a partir de
.
Passo 4
Comparação da convergência (ordem e número de iterações) — explicação teórica e verificação prática.
- Ordem teórica:
- O método de Newton, quando a raiz é simples e a aproximação inicial está suficientemente próxima, tem ordem de convergência quadrática: se o erro em uma iteração é
, então o erro seguinte satisfaz aproximadamente para algum . Isso significa que o número de dígitos corretos dobra (aproximadamente) a cada iteração quando já estamos na vizinhança da raiz. - O método da posição falsa converge tipicamente linearmente (ordem
). A cada iteração o erro reduz numa taxa aproximadamente proporcional ao erro atual; a redução é, em geral, bem mais lenta que a quadrática.
- O método de Newton, quando a raiz é simples e a aproximação inicial está suficientemente próxima, tem ordem de convergência quadrática: se o erro em uma iteração é
- Observação prática neste problema:
- Newton, com
, em 2–3 iterações já alcançou a raiz com precisão na casa de (iterados mostraram e ). - A posição falsa aproximou a raiz também, mas de forma bem mais gradual: após 5 iterações tínhamos aproximantes como
— ou seja, a posição falsa precisou de mais iterações para chegar a uma precisão semelhante (e o progresso por iteração foi bem menor).
- Newton, com
- Conclusão prática: Newton é muito mais eficiente aqui (convergência muito mais rápida) desde que a derivada não seja nula e o chute inicial seja razoável. A posição falsa é mais robusta (só precisa do sinal trocado em um intervalo) mas converge linearmente e, portanto, exige muitas mais iterações para obter precisão alta.
Resposta
(a) Um intervalo inicial adequado é
, pois
e
, ou seja, há mudança de sinal em
.
(b) Cinco iterações (valores aproximados):
-
Posição falsa (regula falsi):
-
-
Newton (com
): -
(c) Comparação:
- Ordem de convergência: Newton tem ordem quadrática (≈2), posição falsa tem ordem linear (≈1).
- Número de iterações: Newton atingiu a precisão mostrada em cerca de 3 iterações; a posição falsa aproxima-se muito mais lentamente (aos 5 passos ainda teve avanços pequenos por iteração). Portanto, Newton é muito mais rápido aqui (quando se pode aplicar), enquanto a posição falsa é mais robusta mas mais lenta.