Utilize o método de Newton para encontrar a raiz da equação não linear
. Realize iterações até que
.
Passo 1
O enunciado pede que se utilize o método de Newton para encontrar a raiz da equação
com chute inicial
. Deve-se iterar até que
.
Informações dadas:
- A função é
. - Ponto inicial:
. - Critério de parada:
.
Passo 2
Explicando o método de Newton (do jeitinho prático): a fórmula iterativa é
Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz. -
é o valor da função na aproximação atual. -
é a derivada da função na aproximação atual.
A ideia: aproximamos a curva por sua reta tangente eme usamos a interseção dessa reta com o eixo como próxima aproximação. O passo é repetido até a diferença entre iterações ser pequena (aqui, menor que ).
Passo 3
Calcular a derivada de
. Temos
portanto usando derivação termo a termo,
Explicando: a derivada de
é
; a derivada de
é
; a derivada de constante é zero.
Passo 4
Primeira iteração (de
para
).
Calcular
e
para
:
Usando
, obtemos
E
Agora a correção:
Aplicando Newton:
Diferença:
portanto continua.
Passo 5
Segunda iteração (de
para
). Precisamos de
e
com
.
Cálculo de
: é prático escrever
com
e usar a série de Taylor de
(válida para
pequeno):
Aqui, tomando até a ordem
obtemos uma aproximação muito boa. Com os cálculos (detalhes numéricos):
Então
Outra vez a derivada:
Correção:
Aplicando Newton:
Diferença:
ainda não satisfaz o critério.
Passo 6
Terceira iteração (de
para
). Agora
.
Calcular
novamente com a mesma ideia: escrevendo
com
e usando a série:
Então
A derivada neste ponto:
Correção:
Aplicando Newton:
Diferença:
Portanto o critério de parada
foi satisfeito ao chegar em
.