COMPARE OS MÉTODOS DA BISSECÇÃO, DE NEWTON-RAPHSON E DAS SECANTES PARA O CÁLCULO DE ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS DAS SEGUINTES FUNÇÕES ABAIXO:
(1-f(x)=e^{-x}-\ln (x), x>0)
(1-f(x)=e^{-x}-\ln (x), x>0)
Passo 1
O enunciado nos pede para comparar três métodos de busca de zeros (bisseção, Newton-Raphson e secantes) aplicados à função
O conteúdo principal é métodos numéricos de resolução de equações não lineares. Para isso vamos precisar de
. Identificar um intervalo inicial onde exista mudança de sinal (para bisseção e secantes).
. Calcular a derivada
para usar no método de Newton-Raphson.
. Definir uma tolerância de erro, digamos
, e comparar o número de iterações, a ordem de convergência e robustez de cada método.
Passo 2
Verificação da existência de raiz em
:
Como
, há ao menos uma raiz em
.
Passo 3
Método da bisseção
O método parte de e repete
O método parte de
A convergência é linear e o número de iterações para atingir erro
satisfaz
logo são necessárias
iterações.
Passo 4
Método de Newton-Raphson
A iteração é
A iteração é
Com chute inicial
e
, obtemos aprox.:
já com erro abaixo de . Foram
iterações. A convergência é quadrática.
já com erro abaixo de
Passo 5
Método das secantes
Usando e
, a fórmula é
Usando
Iterando até
dá aproximadamente:
totalizando iterações. A convergência é superlinear (ordem
).
totalizando
Passo 6
Comparação final
- Bisseção: convergência linear, muito robusta,
iterações. - Newton-Raphson: convergência quadrática, mais rápida (
iterações), mas exige e chute próximo da raiz. - Secantes: convergência superlinear (
), sem necessidade de derivada, iterações, mas menos robusta que bisseção.
Resposta
Bisseção:
iterações, convergência linear, máxima robustez.
Newton-Raphson: iterações, convergência quadrática, exige derivada e chute bom.
Secantes: iterações, convergência superlinear, não exige derivada, moderadamente robusta.
Newton-Raphson:
Secantes: