COMPARE OS MÉTODOS DA BISSECÇÃO, DE NEWTON-RAPHSON E DAS SECANTES PARA O CÁLCULO DE ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS DAS SEGUINTES FUNÇÕES ABAIXO:
(1-f(x)=e^{-x}-\ln (x), x>0)

Passo 1

O enunciado nos pede para comparar três métodos de busca de zeros (bisseção, Newton-Raphson e secantes) aplicados à função
f(x)=e^-x-ln(x), x>0
O conteúdo principal é métodos numéricos de resolução de equações não lineares. Para isso vamos precisar de
1. Identificar um intervalo inicial onde exista mudança de sinal (para bisseção e secantes).
2. Calcular a derivada
f'(x)=-e^-x-1x
para usar no método de Newton-Raphson.
3. Definir uma tolerância de erro, digamos varepsilon=10^-6, e comparar o número de iterações, a ordem de convergência e robustez de cada método.

Passo 2

Verificação da existência de raiz em [1,2]:
f(1)=e^-1-ln(1)=0,3679-0=0,3679>0, f(2)=e^-2-ln(2)=0,1353-0,6931=-0,5578<0
Como f(1)cdot f(2)<0, há ao menos uma raiz em [1,2].

Passo 3

Método da bisseção
O método parte de [a0,b0]=[1,2] e repete
cn=an+bn2, se<=cionando o subintervalo onde (f) muda de sinal
A convergência é linear e o número de iterações para atingir erro varepsilon satisfaz
N>=lnl(b0-a0varepsilonr)ln(2) =ln(1/10^-6)ln(2)approx19,93,
logo são necessárias 20 iterações.

Passo 4

Método de Newton-Raphson
A iteração é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn) =xn-e^-xn-ln(xn)-e^-xn-tfrac1xn
Com chute inicial x0=1 e varepsilon=10^-6, obtemos aprox.:
,x1approx1,2690,;x2approx1,3092,;x3approx1,3099,
já com erro abaixo de 10^-6. Foram 3 iterações. A convergência é quadrática.

Passo 5

Método das secantes
Usando x0=1 e x1=2, a fórmula é
xn+2=xn+1-f(xn+1), xn+1-xnf(xn+1)-f(xn)
Iterando até varepsilon=10^-6 dá aproximadamente:
,x2approx1,3973,;x3approx1,2856,;x4approx1,3109,;x5approx1,3103,
totalizando 4 iterações. A convergência é superlinear (ordem approx 1,62).

Passo 6

Comparação final
  • Bisseção: convergência linear, muito robusta, 20 iterações.
  • Newton-Raphson: convergência quadrática, mais rápida ( 3 iterações), mas exige f' e chute próximo da raiz.
  • Secantes: convergência superlinear ( 1,62), sem necessidade de derivada, 4 iterações, mas menos robusta que bisseção.

Resposta

Bisseção: 20 iterações, convergência linear, máxima robustez.
Newton-Raphson: 3 iterações, convergência quadrática, exige derivada e chute bom.
Secantes: 4 iterações, convergência superlinear, não exige derivada, moderadamente robusta.

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