(3 pontos) Considere o sistema linear:
l 2 x-2 y+z=-3 x+3 y-2 z=1 3 x-y-z=2
(a) Resolva-o usando eliminação gaussiana.
(b) Resolva-o usando decomposição LU.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
r 2x - 2y + z = -3, x + 3y - 2z = 1, 3x - y - z = 2
usando (a) eliminação gaussiana e (b) decomposição LU. O que precisamos é aplicar operações elementares em linhas e, no segundo caso, fatorar a matriz dos coeficientes em L,U (método de Doolittle).

Passo 2

Para eliminação gaussiana montamos a matriz aumentada
[ccc|c 2 & -2 & 1 & -3 1 & 3 & -2 & 1 3 & -1 & -1 & 2 ]
e eliminamos x em R2 e R3:
R2 R2 - tfrac12R1 l[0;;4;;-5/2;|;5/2r],
R3 R3 - tfrac32R1 l[0;;2;;-5/2;|;13/2r].

Passo 3

Em seguida eliminamos y de R3 via R3 R3 - tfrac12R2, obtendo
l[0;0;-5/4;|;21/4r]. Daí
-tfrac54,z = tfrac214 Longrightarrow z = -tfrac215,
retro-substituindo em 4y - tfrac52z = tfrac52 y=-2, e em 2x-2y+z=-3 x=-tfrac75.

Passo 4

Logo, pela eliminação gaussiana
(x,y,z)=l(-tfrac75,,-2,,-tfrac215r)

Passo 5

Para decomposição LU tomamos
A=2 & -2 & 11 & 3 & -23 & -1 & -1
e usamos Doolittle:
u11=2, l21=tfrac12, l31=tfrac32;
subtraindo tfrac12 da linha 1 em R2 e tfrac32 da linha 1 em R3 obtemos
u22=4, u23=-tfrac52, u32=2,
de onde l32=tfrac24=tfrac12 e finalmente u33=-tfrac54. Assim
L= 1 & 0 & 0 tfrac12 & 1 & 0 tfrac32 & tfrac12 & 1 , U= 2 & -2 & 1 0 & 4 & -tfrac52 0 & 0 & -tfrac54

Passo 6

Resolvemos Ly=b com b=(-3,1,2)^T:
y1 = -3, y2 = 1 - tfrac12(-3) = tfrac52, y3 = 2 - tfrac32(-3) - tfrac12l(tfrac52r) = tfrac214

Passo 7

Depois resolvemos Ux=y por retro-substituição:
-tfrac54,z = tfrac214 ;Longrightarrow; z=-tfrac215, 4x2 - tfrac52,z = tfrac52 ;Longrightarrow; x2=-2,
2x1 - 2x2 + x3 = -3 ;Longrightarrow; x1=-tfrac75

Passo 8

Portanto, pela decomposição LU também
(x,y,z)=l(-tfrac75,,-2,,-tfrac215r)

Resposta

(a) (x,y,z)=l(-tfrac75,-2,-tfrac215r)
(b) (x,y,z)=l(-tfrac75,-2,-tfrac215r)

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