(3 pontos) Considere o sistema linear:
(a) Resolva-o usando eliminação gaussiana.
(b) Resolva-o usando decomposição LU.
(b) Resolva-o usando decomposição LU.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
usando (a) eliminação gaussiana e (b) decomposição
LU . O que precisamos é aplicar operações elementares em linhas e, no segundo caso, fatorar a matriz dos coeficientes em
L,U (método de Doolittle).
Passo 2
Para eliminação gaussiana montamos a matriz aumentada
e eliminamos
x em
R2 e
R3 :
R2 R2 - tfrac12R1 dá
l[0;;4;;-5/2;|;5/2r] ,
R3 R3 - tfrac32R1 dá
l[0;;2;;-5/2;|;13/2r] .
Passo 3
Em seguida eliminamos
y de
R3 via
R3 R3 - tfrac12R2 , obtendo
l[0;0;-5/4;|;21/4r] . Daí
retro-substituindo em
4y - tfrac52z = tfrac52 dá
y=-2 , e em
2x-2y+z=-3 dá
x=-tfrac75 .
Passo 4
Logo, pela eliminação gaussiana
Passo 5
Para decomposição
LU tomamos
e usamos Doolittle:
u11=2 ,
l21=tfrac12 ,
l31=tfrac32 ;
subtraindotfrac12 da linha 1 em
R2 e
tfrac32 da linha 1 em
R3 obtemos
subtraindo
de onde
l32=tfrac24=tfrac12 e finalmente
u33=-tfrac54 . Assim
Passo 6
Resolvemos
Ly=b com
b=(-3,1,2)^T :
Passo 7
Depois resolvemos
Ux=y por retro-substituição:
Passo 8
Portanto, pela decomposição
LU também
Resposta
(a)
(x,y,z)=l(-tfrac75,-2,-tfrac215r)
(b)(x,y,z)=l(-tfrac75,-2,-tfrac215r)
(b)