Considere as funções reais f(x)=x^4-8, g(x)=x^3-3 x^2-13 x+15 e h(x)=x^2-4 x-5 e tolerância epsilon=10^-1
Use o método do Ponto Fixo para h tomando como função de iteração psi(x)=raiz4 x+5 e valor inicial x0=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver
h(x)=x^2-4x-5=0
usando o método do ponto fixo com a função de iteração
psi(x)=raiz4x+5,
valor inicial x0=1 e tolerância epsilon=10^-1.
Conteúdo: método do ponto fixo (fix-point), iterar até l|xn+1-xnr|<epsilon.

Passo 2

Definimos a iteração
xn+1=psi(xn)=raiz4xn+5
Para garantir convergência podemos verificar que
psi'(x)=2raiz4x+5
Num intervalo onde a raiz positiva viva (por exemplo [3,5]) temos
0<= psi'(x)<= 2raiz17approx0,485<1,
logo psi é contração e o método converge.

Passo 3

Agora iteramos até a diferença ser menor que 0,1:
x0&=1, x1&=raiz4cdot1+5=raiz9=3, l|x1-x0r|=2, x2&=raiz4cdot3+5=raiz17approx4,1231, l|x2-x1r|approx1,1231, x3&=raiz4cdot4,1231+5=raiz21,4924approx4,6365, l|x3-x2r|approx0,5134, x4&=raiz4cdot4,6365+5=raiz23,5460approx4,8524, l|x4-x3r|approx0,2159, x5&=raiz4cdot4,8524+5=raiz24,4096approx4,9400, l|x5-x4r|approx0,0876<0,1

Resposta

A iteração atinge a tolerância em n=5 e fornece como aproximação da raiz positiva
xapprox4,94

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