(Olimpíada Ibero - Americana de matemática da universitária - adaptada) Considere n um número ímpar tal que o valor absoluto da expressão \sum_{n=1}^{+\infty} \cos \left(\frac{\pi}{n}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{n}\right) \ldots \cos \left(\frac{n \pi}{n}\right) seja igual a \left(\frac{p}{q}\right) onde p e q são números inteiros positivos primos entre si. Então o valor de (p+q) é igual a:
a) 3
b) 5
c) 8
d) 9
e) 12

Passo 1

O enunciado dá um número ímpar n e a expressão
\sum_{n=1}^{+\infty} \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{n}\right)\ldots\cos\left(\frac{n\pi}{n}\right).
Há uma ambiguidade óbvia no enunciado por causa do símbolo de soma; vou interpretar a expressão que faz sentido clássico e que aparece em concursos: o produto
P_n=\prod_{k=1}^{n}\cos\!\left(\frac{k\pi}{n}\right).
O problema pede o valor absoluto de P_n que é racional e igual a \dfrac{p}{q} com p,q inteiros positivos coprimos, e então quer p+q. Vou calcular |P_n| passo a passo para n ímpar.

Passo 2

Primeiro uso uma identidade clássica e muito útil: para inteiro n\ge2
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{n}{2^{\,n-1}}.
Vou explicar por que essa fórmula é verdadeira (a “aula” pedida).
Considere o polinômio x^n-1. Ele fatoriza pelas raízes da unidade:
x^n-1=\prod_{j=0}^{n-1}\left(x-e^{2\pi i j/n}\right).
Dividindo por x-1 (que corresponde à raiz j=0) obtemos
\frac{x^n-1}{x-1}=\prod_{j=1}^{n-1}\left(x-e^{2\pi i j/n}\right).
Agora avalie essa igualdade em x=1. No lado esquerdo usamos o limite ou a derivada simples: \dfrac{1^n-1}{1-1} interpretado como \lim_{x\to1}\dfrac{x^n-1}{x-1}=n. Então
n=\prod_{j=1}^{n-1}\left(1-e^{2\pi i j/n}\right).
Tome o valor absoluto (módulo) em ambos os lados. Para cada j,
\left|1-e^{2\pi i j/n}\right|=2\left|\sin\!\left(\frac{\pi j}{n}\right)\right|,
porque 1-e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\big(e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}\big)=-2i\,e^{i\theta/2}\sin(\theta/2) e o módulo é 2|\sin(\theta/2)|. Assim
|n|=\prod_{j=1}^{n-1}2\left|\sin\!\left(\frac{\pi j}{n}\right)\right|.
Como todos os \sin(\pi j/n) são positivos para j=1,\dots,n-1 com 0<\pi j/n<\pi, podemos tirar o valor absoluto do seno e obter
n=2^{\,n-1}\prod_{j=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{\pi j}{n}\right).
Rearranjando,
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{n}{2^{\,n-1}}.
Essa é a identidade usada a seguir.

Passo 3

Agora relaciono produtos de \sin e \cos. Note que para n ímpar temos \gcd(2,n)=1, então a multiplicação por 2 modulo n é uma permutação dos índices 1,2,\dots,n-1. Portanto
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right) =\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right).
Mas pela fórmula da duplicação do seno,
\sin(2x)=2\sin x\cos x.
Aplicando isso com x=\dfrac{\pi k}{n} e multiplicando para k=1,\dots,n-1,
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{2\pi k}{n}\right) =\prod_{k=1}^{n-1}2\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)\cos\!\left(\frac{\pi k}{n}\right).
O lado esquerdo, como dito, é igual a \prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\dfrac{\pi k}{n}\right). Assim
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right) =2^{\,n-1}\left(\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)\right)\left(\prod_{k=1}^{n-1}\cos\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)\right).
Como \prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\dfrac{\pi k}{n}\right) é diferente de zero, podemos cancelar esse fator e obter
\prod_{k=1}^{n-1}\cos\!\left(\frac{\pi k}{n}\right)=\frac{1}{2^{\,n-1}}.

Passo 4

Volto ao produto pedido P_n=\prod_{k=1}^{n}\cos\!\left(\dfrac{k\pi}{n}\right). Observe que \cos\!\left(\dfrac{n\pi}{n}\right)=\cos\pi=-1. Então
P_n=\left(\prod_{k=1}^{n-1}\cos\!\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right)\cos\pi =\frac{1}{2^{\,n-1}}\cdot(-1)=-\frac{1}{2^{\,n-1}}.
Portanto o valor absoluto é
\left|P_n\right|=\frac{1}{2^{\,n-1}}.

Passo 5

Comparando com \dfrac{p}{q} com p,q inteiros positivos coprimos, obtemos p=1 e q=2^{\,n-1}. Assim
p+q=1+2^{\,n-1}.
Como a questão é de múltipla escolha e as alternativas são números fixos, procuremos qual alternativa coincide com 1+2^{\,n-1} para algum n ímpar. Para n=3 (ímpar) temos
p+q=1+2^{\,3-1}=1+2^{2}=1+4=5.
Nenhum outro n ímpar pequeno fornece um dos valores listados, então a alternativa correta é a que dá 5.

Resposta

(b)

Exercícios relacionados