(Olimpíada Ibero - Americana de matemática da universitária - adaptada) Considere n um número ímpar tal que o valor absoluto da expressão \sum_{n=1}^{+\infty} \cos \left(\frac{\pi}{n}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{n}\right) \ldots \cos \left(\frac{n \pi}{n}\right) seja igual a \left(\frac{p}{q}\right) onde p e q são números inteiros positivos primos entre si. Então o valor de (p+q) é igual a:
a) 3
b) 5
c) 8
d) 9
e) 12
Há uma ambiguidade óbvia no enunciado por causa do símbolo de soma; vou interpretar a expressão que faz sentido clássico e que aparece em concursos: o produto
O problema pede o valor absoluto de P_n que é racional e igual a \dfrac{p}{q} com p,q inteiros positivos coprimos, e então quer p+q. Vou calcular |P_n| passo a passo para n ímpar.
Passo 2
Primeiro uso uma identidade clássica e muito útil: para inteiro n\ge2
Vou explicar por que essa fórmula é verdadeira (a “aula” pedida).
Considere o polinômio x^n-1. Ele fatoriza pelas raízes da unidade:
x^n-1=\prod_{j=0}^{n-1}\left(x-e^{2\pi i j/n}\right).
Dividindo por x-1 (que corresponde à raiz j=0) obtemos
\frac{x^n-1}{x-1}=\prod_{j=1}^{n-1}\left(x-e^{2\pi i j/n}\right).
Agora avalie essa igualdade em x=1. No lado esquerdo usamos o limite ou a derivada simples: \dfrac{1^n-1}{1-1} interpretado como \lim_{x\to1}\dfrac{x^n-1}{x-1}=n. Então
n=\prod_{j=1}^{n-1}\left(1-e^{2\pi i j/n}\right).
Tome o valor absoluto (módulo) em ambos os lados. Para cada j,
\left|1-e^{2\pi i j/n}\right|=2\left|\sin\!\left(\frac{\pi j}{n}\right)\right|,
porque 1-e^{i\theta}=e^{i\theta/2}\big(e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}\big)=-2i\,e^{i\theta/2}\sin(\theta/2) e o módulo é 2|\sin(\theta/2)|. Assim
Agora relaciono produtos de \sin e \cos. Note que para n ímpar temos \gcd(2,n)=1, então a multiplicação por 2 modulo n é uma permutação dos índices 1,2,\dots,n-1. Portanto
Comparando com \dfrac{p}{q} com p,q inteiros positivos coprimos, obtemos p=1 e q=2^{\,n-1}. Assim
p+q=1+2^{\,n-1}.
Como a questão é de múltipla escolha e as alternativas são números fixos, procuremos qual alternativa coincide com 1+2^{\,n-1} para algum n ímpar. Para n=3 (ímpar) temos
p+q=1+2^{\,3-1}=1+2^{2}=1+4=5.
Nenhum outro n ímpar pequeno fornece um dos valores listados, então a alternativa correta é a que dá 5.