(Competição de matemática da universidade de Princeton - adaptada) Sabendo que o valor da expressão \operatorname{sen}\left(2^{\circ}\right) \operatorname{sen}\left(4^{\circ}\right) \operatorname{sen}\left(6^{\circ}\right) \ldots \operatorname{sen}\left(88^{\circ}\right) \operatorname{sen}\left(90^{\circ}\right) é igual a \left(\frac{p \sqrt{50}}{2^{50}}\right), onde p é um número inteiro e positivo. Então o valor de p é igual a:
a) 192
b) 72
c) 156
d) 96
e)160

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O produto dado é \sin\left(2^\circ\right)\sin\left(4^\circ\right)\sin\left(6^\circ\right)\cdots\sin\left(88^\circ\right)\sin\left(90^\circ\right).
  • Esse produto pode ser reescrito em radianos como \prod_{k=1}^{45}\sin\!\left(\frac{k\pi}{90}\right),porque 2^\circ=\dfrac{\pi}{90} e 90^\circ=\dfrac{45\pi}{90}.
  • O enunciado afirma que esse produto é igual a \frac{p\sqrt{50}}{2^{50}},onde p é um inteiro positivo, e pede que eu determine p. As alternativas dadas são 192,72,156,96,160.

Passo 2

Vou usar uma identidade padrão sobre produtos de senos que é muito útil: para todo inteiro n\ge1 vale
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{k\pi}{2n}\right)=\frac{\sqrt{n}}{2^{\,n-1}}.
Antes de aplicar, eu explico de onde vem essa identidade (passo a passo didático, sem pular etapas).
  • Começo pela identidade bem conhecida \prod_{k=1}^{N-1}\sin\!\left(\frac{k\pi}{N}\right)=\frac{N}{2^{\,N-1}},que se demonstra usando as raízes da unidade e a fatoração do polinómio x^N-1 (essa é uma identidade clássica; trato-a aqui como ferramenta que posso justificar através de polinômios e pares simétricos).
  • Agora aplico essa identidade com N=2n. Assim \prod_{k=1}^{2n-1}\sin\!\left(\frac{k\pi}{2n}\right)=\frac{2n}{2^{\,2n-1}}.
  • Observe que \sin\!\left(\frac{n\pi}{2n}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 e que, para 1\le k\le n-1, os termos com índices k e 2n-k são iguais. Portanto os 2n-1 fatores se organizam como \prod_{k=1}^{2n-1}\sin\!\left(\frac{k\pi}{2n}\right) = \left(\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{k\pi}{2n}\right)\right)^2\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{k\pi}{2n}\right)\right)^2.
  • Igualando as duas expressões: \left(\prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{k\pi}{2n}\right)\right)^2=\frac{2n}{2^{\,2n-1}}=\frac{n}{2^{\,2n-2}}.Tomando raiz positiva (os senos aqui são positivos no intervalo considerado), \prod_{k=1}^{n-1}\sin\!\left(\frac{k\pi}{2n}\right)=\frac{\sqrt{n}}{2^{\,n-1}},que é exatamente a identidade anunciada. Pronto — agora podemos aplicá‑la ao nosso produto.

Passo 3

Identifico o meu produto com a identidade acima.
  • No meu produto tenho os termos \sin\!\left(\dfrac{k\pi}{90}\right) para k=1,2,\dots,45.
  • A identidade usa \sin\!\left(\dfrac{k\pi}{2n}\right) para k=1,\dots,n-1. Se eu escolho n=45, então \dfrac{k\pi}{2n}=\dfrac{k\pi}{90} e a identidade diz \prod_{k=1}^{44}\sin\!\left(\frac{k\pi}{90}\right)=\frac{\sqrt{45}}{2^{44}}.
  • Note que meu produto original vai até k=45, ou seja \prod_{k=1}^{45}\sin\!\left(\frac{k\pi}{90}\right) = \left(\prod_{k=1}^{44}\sin\!\left(\frac{k\pi}{90}\right)\right)\cdot\sin\!\left(\frac{45\pi}{90}\right).Mas \sin\!\left(\dfrac{45\pi}{90}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, logo o fator extra não altera o produto.
  • Portanto o produto pedido é \prod_{k=1}^{45}\sin\!\left(\frac{k\pi}{90}\right)=\frac{\sqrt{45}}{2^{44}}.

Passo 4

Simplifico a expressão obtida para compará‑la com a forma dada no enunciado.
  • Primeiro fatoro \sqrt{45}: \sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5},então \prod_{k=1}^{45}\sin\!\left(\frac{k\pi}{90}\right)=\frac{3\sqrt{5}}{2^{44}}.
  • O enunciado escreve o resultado na forma \dfrac{p\sqrt{50}}{2^{50}}. Posso escrever a minha forma com denominador 2^{50} multiplicando numerador e denominador por 2^6=64: \frac{3\sqrt{5}}{2^{44}}=\frac{3\cdot 64\sqrt{5}}{2^{50}}=\frac{192\sqrt{5}}{2^{50}}.
  • Comparando \dfrac{192\sqrt{5}}{2^{50}} com \dfrac{p\sqrt{50}}{2^{50}} obtemos a igualdade necessária se e somente se 192\sqrt{5}=p\sqrt{50}.Mas \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}, então essa igualdade implica p=\frac{192\sqrt{5}}{\sqrt{50}}=\frac{192\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}=\frac{192}{5}\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{192}{\sqrt{10}},que não é um inteiro. Ou seja, com a forma exatamente \dfrac{p\sqrt{50}}{2^{50}} o valor p não seria inteiro.

Passo 5

Interpretação final e escolha da alternativa.
  • Obtivemos uma expressão limpa para o produto: \prod_{k=1}^{45}\sin\!\left(\frac{k\pi}{90}\right)=\frac{3\sqrt{5}}{2^{44}}=\frac{192\sqrt{5}}{2^{50}}.
  • Se o enunciado pretendia escrever o resultado na forma \dfrac{p\sqrt{5}}{2^{50}}, então comparar com \dfrac{192\sqrt{5}}{2^{50}} dá imediatamente p=192.
  • Como as alternativas fornecidas são números inteiros e uma delas é 192, e dado que a forma natural que surge da identidade contém \sqrt{5} (e não \sqrt{50}), a escolha coerente entre as alternativas é p=192. (Observação: com a forma literal \dfrac{p\sqrt{50}}{2^{50}} não haveria p inteiro; por isso a alternativa compatível com a expressão correta \dfrac{192\sqrt{5}}{2^{50}} é 192.)

Resposta

192

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