(Competição de matemática da universidade de Princeton - adaptada) Sabendo que o valor da expressão
é igual a
, onde
é um número inteiro e positivo. Então o valor de
é igual a:
a) 192
b) 72
c) 156
d) 96
e)160
a) 192
b) 72
c) 156
d) 96
e)160
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O produto dado é
. - Esse produto pode ser reescrito em radianos como
porque e . - O enunciado afirma que esse produto é igual a
onde é um inteiro positivo, e pede que eu determine . As alternativas dadas são .
Passo 2
Vou usar uma identidade padrão sobre produtos de senos que é muito útil: para todo inteiro
vale
Antes de aplicar, eu explico de onde vem essa identidade (passo a passo didático, sem pular etapas).
- Começo pela identidade bem conhecida
que se demonstra usando as raízes da unidade e a fatoração do polinómio (essa é uma identidade clássica; trato-a aqui como ferramenta que posso justificar através de polinômios e pares simétricos). - Agora aplico essa identidade com
. Assim - Observe que
e que, para , os termos com índices e são iguais. Portanto os fatores se organizam como - Igualando as duas expressões:
Tomando raiz positiva (os senos aqui são positivos no intervalo considerado), que é exatamente a identidade anunciada. Pronto — agora podemos aplicá‑la ao nosso produto.
Passo 3
Identifico o meu produto com a identidade acima.
- No meu produto tenho os termos
para . - A identidade usa
para . Se eu escolho , então e a identidade diz - Note que meu produto original vai até
, ou seja Mas , logo o fator extra não altera o produto. - Portanto o produto pedido é
Passo 4
Simplifico a expressão obtida para compará‑la com a forma dada no enunciado.
- Primeiro fatoro
: então - O enunciado escreve o resultado na forma
. Posso escrever a minha forma com denominador multiplicando numerador e denominador por : - Comparando
com obtemos a igualdade necessária se e somente se Mas , então essa igualdade implica que não é um inteiro. Ou seja, com a forma exatamente o valor não seria inteiro.
Passo 5
Interpretação final e escolha da alternativa.
- Obtivemos uma expressão limpa para o produto:
- Se o enunciado pretendia escrever o resultado na forma
, então comparar com dá imediatamente . - Como as alternativas fornecidas são números inteiros e uma delas é
, e dado que a forma natural que surge da identidade contém (e não ), a escolha coerente entre as alternativas é . (Observação: com a forma literal não haveria inteiro; por isso a alternativa compatível com a expressão correta é .)
Resposta
192