Usando a regra do quociente, calcule as derivadas das seguintes funções trigonométricas:
g(x)=\operatorname{cotg} x=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=\operatorname{cotg} x=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}.
Informações dadas e pedido:
  • A função está escrita como uma razão: numerador \cos x e denominador \operatorname{sen} x.
  • Deve-se usar a regra do quociente (ou seja, aplicar a fórmula da derivada de uma razão).
  • Resultado esperado: g'(x), lembrando que a função só está definida onde \operatorname{sen} x \neq 0.

Passo 2

Apresentação da regra do quociente (a “fórmula” que vamos usar).
Se tivermos duas funções u(x) e v(x) com v(x)\neq0, a derivada de \dfrac{u(x)}{v(x)} é
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Explicando cada termo:
  • u(x) é o numerador da razão.
  • v(x) é o denominador.
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v.
  • O numerador da expressão final combina u' vezes v menos u vezes v'.
  • O denominador é v(x)^2, sempre positivo (quando definido).

Passo 3

Identificação das funções u e v no nosso caso.
Tomamos
u(x)=\cos x,\qquad v(x)=\operatorname{sen} x.
Vamos precisar de u'(x) e v'(x).

Passo 4

Derivadas básicas de funções trigonométricas usadas (lembrete e pequena justificativa).
  • A derivada de \sin x é \cos x:
(\sin x)'=\cos x.
  • A derivada de \cos x é -\sin x:
(\cos x)'=-\sin x.
Esses resultados são padrões: podem ser obtidos da definição de derivada usando limites (não precisamos refazer essa prova aqui; basta lembrar que são fórmulas básicas e muito usadas).

Passo 5

Calcular u'(x) e v'(x) e aplicar a regra do quociente.
Usando o que identificamos:
u'(x)=(\cos x)'=-\sin x, \qquad v'(x)=(\operatorname{sen} x)'=\cos x.
Agora aplicamos a fórmula
g'(x)=\left(\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)' =\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{(-\sin x)\cdot(\operatorname{sen} x)-(\cos x)\cdot(\cos x)}{(\operatorname{sen} x)^{2}}.

Passo 6

Simplificar o numerador usando identidades trigonométricas.
No numerador temos
(-\sin x)\cdot(\operatorname{sen} x)-(\cos x)\cdot(\cos x)=-\sin^{2}x-\cos^{2}x.
Usando a identidade pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, segue
-\sin^{2}x-\cos^{2}x=-(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=-1.
Logo
g'(x)=\frac{-1}{(\operatorname{sen} x)^{2}}.

Passo 7

Reescrever de forma comum e comentar domínio.
A forma \dfrac{-1}{(\operatorname{sen} x)^{2}} é equivalente à forma que se usa frequentemente para a derivada da cotangente:
g'(x)=-\csc^{2}x,
onde \csc x (cossecante) é definida por \csc x=\dfrac{1}{\sin x}. Lembrar que tudo isso só vale para x tais que \operatorname{sen} x\neq0 (ou seja, x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}), porque aí a função original e a derivada não estão definidas.

Resposta

g'(x)=-\frac{1}{\sin^{2}x}=-\csc^{2}x

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