Usando a regra do quociente, calcule as derivadas das seguintes funções trigonométricas:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas e pedido:
- A função está escrita como uma razão: numerador
e denominador . - Deve-se usar a regra do quociente (ou seja, aplicar a fórmula da derivada de uma razão).
- Resultado esperado:
, lembrando que a função só está definida onde .
Passo 2
Apresentação da regra do quociente (a “fórmula” que vamos usar).
Se tivermos duas funções e
com
, a derivada de
é
Se tivermos duas funções
Explicando cada termo:
-
é o numerador da razão. -
é o denominador. -
e são as derivadas de e . - O numerador da expressão final combina
vezes menos vezes . - O denominador é
, sempre positivo (quando definido).
Passo 3
Identificação das funções
e
no nosso caso.
Tomamos
Tomamos
Vamos precisar de
e
.
Passo 4
Derivadas básicas de funções trigonométricas usadas (lembrete e pequena justificativa).
- A derivada de
é :
- A derivada de
é :
Esses resultados são padrões: podem ser obtidos da definição de derivada usando limites (não precisamos refazer essa prova aqui; basta lembrar que são fórmulas básicas e muito usadas).
Passo 5
Calcular
e
e aplicar a regra do quociente.
Usando o que identificamos:
Usando o que identificamos:
Agora aplicamos a fórmula
Passo 6
Simplificar o numerador usando identidades trigonométricas.
No numerador temos
No numerador temos
Usando a identidade pitagórica
, segue
Logo
Passo 7
Reescrever de forma comum e comentar domínio.
A forma é equivalente à forma que se usa frequentemente para a derivada da cotangente:
A forma
onde
(cossecante) é definida por
. Lembrar que tudo isso só vale para
tais que
(ou seja,
,
), porque aí a função original e a derivada não estão definidas.