O comprimento de arco de uma curva y=f(x) definida no intervalo [a, b] é dado por
L=integrala^b raiz1+(f^prime(x))^2 d x
Considerando f(x)=sen(x) e [a, b]=[0, pi / 4], estime o comprimento da curva y= f(x) usando a Regra dos Trapézios com 4 subintervalos e a Regra de Simpson com 4 subintervalos.

Passo 1

Beleza, a questão quer a gente estimar o comprimento da curva

no intervalo y = f(x) = sen(x) usando duas regras de integração numérica: Trapézios e Simpson, cada uma com 4 subintervalos.
Conteúdo envolvido:
- Fórmula do comprimento de arco
- Derivada de
- Regra dos Trapézios
- Regra de Simpson
O que precisamos:
1) Saber que , então o integrando é .
2) Partir o intervalo em 4 pedaços iguais, calcular em cada ponto o valor de .
3) Aplicar as fórmulas numéricas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir h = pi/4 - 04 = pi16 em 4 subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo é
xi = icdotpi16, i=0,1,2,3,4
Os pontos são
g(xi) = raiz1+l(cos(xi)r)^2
E em cada x0 &= 0, & g(x0) &= raiz1+1^2 = raiz2approx1.4142, x1 &= tfracpi16,& g(x1) &approxraiz1+0,9808^2approx1.4007, x2 &= tfracpi8, & g(x2) &approxraiz1+0,9239^2approx1.3617, x3 &= tfrac3pi16,& g(x3)&approxraiz1+0,8315^2approx1.3005, x4 &= tfracpi4, & g(x4) &= raiz1+0,7071^2=raiz1,5approx1.2247 avaliamos
Vamos calcular aproximadamente:

Passo 3

Agora a Regra dos Trapézios com 4 subintervalos diz:
Ltrap approx h2l[g(x0)+2g(x1)+2g(x2)+2g(x3)+g(x4)r]
Substituindo Ltrap = pi/162l(1.4142 + 2cdot1.4007 + 2cdot1.3617 + 2cdot1.3005 + 1.2247r) approx 1.0560 e os valores de :

Passo 4

Já a Regra de Simpson com 4 subintervalos (que é par, nota bene) é
LS approx h3l[g(x0)+4g(x1)+2g(x2)+4g(x3)+g(x4)r]
Substituindo tudo:
LS = pi/163l(1.4142 + 4cdot1.4007 + 2cdot1.3617 + 4cdot1.3005 + 1.2247r) approx 1.0581

Resposta

Comprimento estimado da curva em :
  • Pela Regra dos Trapézios (4 subintervalos): .
  • Pela Regra de Simpson (4 subintervalos): .

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