Seja
o valor aproximado da integral
calculado usando a Regra dos Trapézios com
subdividido em
subintervalos de igual comprimento.
Explique por que
terá sempre o mesmo sinal de
, qualquer que seja o valor de
escolhido.
Explique por que
Passo 1
Beleza, o enunciado pede o seguinte: a gente tem a integral
e aproxima ela pelo Método dos Trapézios com pedaços iguais, obtendo
. Sabemos que o valor exato é
.
A parada é mostrar que o erro tem sempre o mesmo sinal que o erro quando
, ou seja, que não importa se você usar 4, 10 ou 100 trapézios, o erro sempre vai “apontar” pro mesmo lado.
Conteúdo principal: regra dos trapézios e sinal do erro para funções convexas ou côncavas.
e aproxima ela pelo Método dos Trapézios com
A parada é mostrar que o erro
Conteúdo principal: regra dos trapézios e sinal do erro para funções convexas ou côncavas.
Passo 2
Primeiro a gente lembra da teoria do Método dos Trapézios para uma função
duas vezes derivável em
:
- Se
em todo intervalo, a regra dos trapézios subestima a área (erro negativo). - Se
, a regra superestima (erro positivo).
No nosso caso,
. Vamos ver a segunda derivada:
-
. -
.
Repara que
para todo
, então
Isso mostra que
é convexa no intervalo. Logo, todos os
são superestimações da integral exata:
ou seja,
para todo
.
Passo 3
O enunciado queria comparar o sinal de
com o de
. Já vimos que, para qualquer
, tem-se
e, em particular, para
,
Portanto, sempre o erro é positivo e, consequentemente,
tem o mesmo sinal que
.
Resposta
O sinal de
é sempre positivo, exatamente como
.