Seja In o valor aproximado da integral integral0^1 1x+1 d x calculado usando a Regra dos Trapézios com [0,1] subdividido em n subintervalos de igual comprimento.
Explique por que In-ln (2) terá sempre o mesmo sinal de I4-ln (2), qualquer que seja o valor de n escolhido.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o seguinte: a gente tem a integral

e aproxima ela pelo Método dos Trapézios com pedaços iguais, obtendo . Sabemos que o valor exato é .
A parada é mostrar que o erro tem sempre o mesmo sinal que o erro quando , ou seja, que não importa se você usar 4, 10 ou 100 trapézios, o erro sempre vai “apontar” pro mesmo lado.
Conteúdo principal: regra dos trapézios e sinal do erro para funções convexas ou côncavas.

Passo 2

Primeiro a gente lembra da teoria do Método dos Trapézios para uma função f''(x)=2(x+1)^3>0 duas vezes derivável em In > integral0^1 1x+1,dx = ln(2), :
  • Se em todo intervalo, a regra dos trapézios subestima a área (erro negativo).
  • Se , a regra superestima (erro positivo).
No nosso caso, . Vamos ver a segunda derivada:
  1. .
  2. .
Repara que para todo , então
Isso mostra que é convexa no intervalo. Logo, todos os são superestimações da integral exata:
ou seja, para todo .

Passo 3

O enunciado queria comparar o sinal de In - ln(2) >0 com o de I4 - ln(2)>0 . Já vimos que, para qualquer , tem-se
e, em particular, para ,
Portanto, sempre o erro é positivo e, consequentemente, tem o mesmo sinal que .

Resposta

O sinal de é sempre positivo, exatamente como .

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