Seja In o valor aproximado da integral integral0^1 1x+1 d x calculado usando a Regra dos Trapézios com [0,1] subdividido em n subintervalos de igual comprimento.
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar que o valor exato da integral é ln (2).

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente mostrar que
integral0^11x+1,dx = ln(2)
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas: a ideia é encontrar uma primitiva de integrala^bf(x),dx = F(b)-F(a) e depois usar o teorema pra avaliar de 0 a 1. Vamos precisar saber que, se , então

Passo 2

Primeiro, identificamos a função
f(x)=1x+1
Queremos achar uma função cuja derivada seja . Ou seja, .

Passo 3

Sabemos da teoria de derivadas e integrais que a primitiva de F(x)=lnl|x+1r| é
ddxln(x+1)=1x+1
Isso porque a derivada de é

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral de 0 a 1:
integral0^11x+1,dx = F(1)-F(0) = lnl|1+1r| ;-;lnl|0+1r| = ln(2)-ln(1)

Passo 5

Como ln(2)-0=ln(2) , sobra

Resposta

boxedln(2)

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