Seja o valor aproximado da integral calculado usando a Regra dos Trapézios com subdividido em subintervalos de igual comprimento.
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar que o valor exato da integral é .
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente mostrar que
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas: a ideia é encontrar uma primitiva de e depois usar o teorema pra avaliar de 0 a 1. Vamos precisar saber que, se , então
Passo 2
Primeiro, identificamos a função
Queremos achar uma função cuja derivada seja . Ou seja, .
Passo 3
Sabemos da teoria de derivadas e integrais que a primitiva de é
Isso porque a derivada de é
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral de 0 a 1: