Considere os pontos:
(0,0),(1,2),(2,7),(3,10)
Encontre o polinômio quadrático que melhor ajusta destes dados no sentido de quadrados mínimos lineares. Calcule o erro final.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para achar um polinômio quadrático
p(x)=a x^2 + b x + c
que “se ajusta melhor” a estes quatro pontos no sentido de mínimos quadrados, ou seja, minimizar
E(a,b,c)=sumi=1^4l(yi - p(xi)r)^2,
Isso faz parte de regressão linear (­ajuste polinomial) usando equações normais. Para resolver, vamos lembrar a teoria de mínimos quadrados, calcular somatórios dos dados, montar as equações normais, resolver o sistema e por fim computar o erro.

Passo 2

Teoria rápida de mínimos quadrados:
  1. Definimos o erro total E(a,b,c)=sumi=1^4l(yi - (a xi^2 + b xi + c)r)^2,
    2) Para minimizar, derivamos em relação a partial Epartial a=0, partial Epartial b=0, partial Epartial c=0, e igualamos a zero:
    sum xi^4,a + sum xi^3,b + sum xi^2,c = sum xi^2 yi, sum xi^3,a + sum xi^2,b + sum xi,c = sum xi yi, sum xi^2,a + sum xi,b + n,c = sum yi
  2. Isso gera o sistema (equações normais):
Agora a gente só precisa dos somatórios dos dados .

Passo 3

Calculando somatórios para n &= 4, &&sum xi = 0+1+2+3 =6, sum xi^2 &=0+1+4+9 =14, &&sum xi^3 =0+1+8+27 =36, sum xi^4 &=0+1+16+81 =98, &&sum yi =0+2+7+10 =19, sum xi yi &=0+2+14+30 =46, &&sum xi^2 yi =0+2+28+90 =120 :

Passo 4

Substituindo nos três normais:
98,a + 36,b + 14,c = 120, 36,a + 14,b + 6,c = 46, 14,a + 6,b + 4,c = 19

Passo 5

Resolvendo esse sistema (por eliminação ou substituição) chega-se a
a=tfrac14, b=tfrac114, c=-tfrac14
Ou seja,
p(x)=14,x^2 + 114,x - 14

Passo 6

Para o erro final (soma dos quadrados dos resíduos):
E = sumi=1^4l(yi - p(xi)r)^2 =0.0625 + 0.5625 + 0.5625 + 0.0625 = 1.25

Resposta

O polinômio que melhor ajusta é
boxedp(x)=14x^2 + 114x - 14
e o erro total de mínimos quadrados vale
boxedE = 1.25

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