Em computação científica, a representação de números em sistemas binários e a aritmética de ponto flutuante são fundamentais para a execução de cálculos precisos. Além disso, a série de Taylor é uma ferramenta poderosa para aproximar funções complexas, permitindo a resolução de problemas práticos em engenharia. Considere a função f(x)=e^x e sua expansão em série de Taylor em torno de x=0:
l série de Taylor em torn f(x)=1+x+x^2 / 2!+x^3 / 3!+x^4 / 4!+cdots hline é
Um engenheiro está desenvolvendo um algoritmo para calcular o valor de e^0.5 utilizando a série de Taylor truncada até o termo de quarta ordem (n=4). Sabendo que o sistema computacional
é utiliza aritmética de ponto flutuante com 3 digitos significativos, qual é o valor aproximado de e^o s obtido pelo algoritmo?
Rascunho para cálculos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular $ e^{0.5} $ usando a série de Taylor da função $ f(x) = e^{x} $, truncando até o quarto termo. Além disso, vamos utilizar a aritmética de ponto flutuante com 3 dígitos significativos para aproximar o resultado. Basicamente, vamos somar os primeiros quatro termos da série de Taylor e arredondar nosso resultado para manter apenas três dígitos importantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a série de Taylor de $ e^{x} $ em torno de $ x = 0 $ até o quarto termo:
e^x
Como queremos calcular $ e^{0.5} $, substituímos $ x $ por 0.5:
x = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo individualmente:
  1. Primeiro termo: $ 1 $
  2. Segundo termo: $ 0.5 $
  3. Terceiro termo:
1
  1. Quarto termo:
0.5
  1. Quinto termo:
(0.5)^22! = 0.252 = 0.125

Passo 4

Vamos somar todos os termos que calculamos:
1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 + 0.00260417 approx 1.6484375

Passo 5

Agora, aplicando a aritmética de ponto flutuante com 3 dígitos significativos, vamos arredondar o resultado final para manter apenas três dígitos importantes:
1.6484375 approx 1.65

Resposta

O valor aproximado de $ e^{0.5} $ obtido pelo algoritmo é 1.65.

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