Em computação científica, a representação de números em sistemas binários e a aritmética de ponto flutuante são fundamentais para a execução de cálculos precisos. Além disso, a série de Taylor é uma ferramenta poderosa para aproximar funções complexas, permitindo a resolução de problemas práticos em engenharia. Considere a função
e sua expansão em série de Taylor em torno de
:
Um engenheiro está desenvolvendo um algoritmo para calcular o valor de
utilizando a série de Taylor truncada até o termo de quarta ordem
. Sabendo que o sistema computacional
é utiliza aritmética de ponto flutuante com 3 digitos significativos, qual é o valor aproximado de
obtido pelo algoritmo?
Rascunho para cálculos:
é utiliza aritmética de ponto flutuante com 3 digitos significativos, qual é o valor aproximado de
Rascunho para cálculos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular $ e^{0.5} $ usando a série de Taylor da função $ f(x) = e^{x} $, truncando até o quarto termo. Além disso, vamos utilizar a aritmética de ponto flutuante com 3 dígitos significativos para aproximar o resultado. Basicamente, vamos somar os primeiros quatro termos da série de Taylor e arredondar nosso resultado para manter apenas três dígitos importantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a série de Taylor de $ e^{x} $ em torno de $ x = 0 $ até o quarto termo:
Como queremos calcular $ e^{0.5} $, substituímos $ x $ por 0.5:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo individualmente:
-
Primeiro termo: $ 1 $
-
Segundo termo: $ 0.5 $
-
Terceiro termo:
- Quarto termo:
- Quinto termo:
Passo 4
Vamos somar todos os termos que calculamos:
Passo 5
Agora, aplicando a aritmética de ponto flutuante com 3 dígitos significativos, vamos arredondar o resultado final para manter apenas três dígitos importantes:
Resposta
O valor aproximado de $ e^{0.5} $ obtido pelo algoritmo é 1.65.